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IV. Affine Geometrie.
also ([A'B][B'C]) auf [JJ']; also, wenn und nur wenn der Pascal-
sche Satz gilt: ([AA'][CC']) auf [JJ], d. h. IACJ = IA'C'J', d. h.
AC = A'C', also
AB + BC = AC = A'C' = A' B' + B'C' = BC + AB,
was zu beweisen war.
Aus AB+ BC = AB folgt AC = AB, also C = B, d.h. nur
die Strecken BB lassen als Summanden eine Summe ungeändert, sind
also als Null anzusehen. Es ist AA= BB nach Definition 155. Aus
AB + BX = AC folgt AX = AC, also eindeutig X = C.
Daß die Addition der Strecken AB mit der Multiplikation der
Würfe ABIJ übereinstimmt, braucht kaum hervorgehoben zu werden.
Infolgedessen können die Strecken AB als Logarithmen der Würfe
ABIJ angesehen werden.
161. Definitionen: Zwei Halbgerade AB eines Punktes heißen
ein Winkel. A und B heißen Anfangs- und Endschenkel, (AB) sein
Scheitel, {AB} seine Ebene.
Sind A = AI], A' = AJ] zwei Halbgeraden einer Geraden, und
B = AI'], B' = AJ] zwei Halbgeraden einer Geraden von A, so
heißt der Winkel AA' ein gestreckter, die Winkel AB und A'B'
heißen Scheitelwinkel, die Winkel AB und BA' heißen Nebenwinkel.
Mit AB} resp. AB} wird diejenige Halbebene der Geraden A be-
zeichnet, in welcher der Punkt B resp. die Halbgerade B liegt.
162. Satz: Zu jedem Winkel AB gibt es für jeden Anfangs-
schenkel A' und jeden Scheitel C' in jeder Ebene von A' genau einen
kongruenten Winkel A'B', wenn noch die Halbebene A' X} gegeben
ist, in der der Endschenkel B' liegen soll.
Beweis: In derjenigen Affinität, in welcher dem Punkte C = (AB)
der Punkt C', der Halbgeraden A die Halbgerade A', der Halbebene
AB} die Halbebene A' X} entspricht, entspreche der Halbgeraden B
die Halbgerade B', dann ist nach Definition Winkel A'B' = AB.
Ergäbe eine zweite Affinität B" + B', so gäbe es auch eine Affinität,
in welcher der Punkt C' sich selbst, die Halbgerade A' sich selbst
die Halbebene A' X} sich selbst, aber die Halbgerade B' der Halb-
geraden B" entspräche. Sind nun I, J die Grenzpunkte, O der Pol
von A', I' der Grenzpunkt der Halbgeraden B', und J" der Grenz-
punkt der Halbgeraden B", so wäre der Wurf der vier Geraden [01],
[OJ], [OC'], [OI'], gleich dem Wurf der vier entsprechenden Ge-
raden: [01], [OJ], [OC'], [OI"], woraus [OI"]=[OI'] folgen würde;
also müßte entweder I" = I' sein, oder es wären I', I" die Grenzpunkte