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IV. Affine Geometrie.
=
= 0 befriedigt wird, wenn jede der „Haupt-
Y2, Y3 außer Y₁ = Ya
Уз
subdiskriminanten" zweiter Ordnung
2
XX;
2
2
XX
х - хо
2
und jedes der Produkte
2
2
2
2 = х² (x² - x - x²)
X
х12 - хо
X1X2
X1 X3
2
X
i
X1 X2
X22 - X
X2 X3
2
2
= (x² - x) x (x₁² + X₂² + X3 - хо³)
2
X1X3
X2 X3
X32 - X2
0
(i, j = 1, 2, 3)
(i = 1, 2, 3)
der Diskriminante mit einer der Hauptsubdiskriminanten erster Ordnung
positiv ist; andernfalls ist die Form indefinit, d. h. sie kann durch
reelle Werte von Y1, Y2, Y3, die nicht alle Null sind, den Wert Null
annehmen. Ist nun erstens
so folgt auch
X12 + X22
+ x2 - x < 0,
2
3
x² + x - x < 0
Xi x² - x² < 0;
2
(i, j = 1, 2, 3)
= 0, welcher Punkt der
demnach ist die quadratische Form der Y1, Y2, Y3 definit, sie wird
also gleich Null nur für Yı
Gleichung des Grenzovals
=
О, Уг
=
О, Уз
2 Yo² = Y₁² + Y2² + Y8²
nicht genügt, da nicht zugleich Yo = Y₁ = Y2 = Уз = 0 sein kann.
Demnach sind die Punkte (x, X1, X2, X3), für welche
2
x² > x₁² + X₂² + X32
ist, eigentliche Punkte.
Ist zweitens
2 X₁² + X2 + X32 - Xo² > 0,
so ist entweder
2
X
(i = 1, 2, 3)
also auch
2
(x²-x2) +
(x²-x2) + x² > 0,
x²+x
2
x² - x² > 0,
х - хо
=
oder es ist irgend eine der Größen
x²- x < 0,
also jedenfalls eine der Bedingungen des Definitseins nicht erfüllt,
also die Gleichung für Y1, Y2, Y3 durch reelle Werte zu befriedigen,