Art. 150.
da P1, P2, Q1, Q4 in einer Ebene liegen.*) Also folgt
ahk = Akh
d. h. die bilineare Form
,
(h, k = 0, 1, 2, 3)
ZankxhYk
(h, k = 0, 1, 2, 3)
h, k
ist symmetrisch.
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Die Grenzpunkte sind diejenigen Punkte, die in ihren Polar-
ebenen liegen, die also der quadratischen Gleichung genügen:
A h k X h X k
Σακκ = 0.
h, k
(h, k = 0, 1, 2, 3)
Eine solche Gleichung mit nicht verschwindender Determinante | art |
läßt sich bekanntlich durch lineare Koordinatentransformation auf eine
der folgenden Formen bringen:**)
x² + X12 x₁ = X22 + X3
2
x² =
| x
2
2
+ X₁² + X22 X2 + X32
2
2
X₁² + X2 + X8,
=
0
von denen die linksstehende wegen 115 ausgeschlossen ist, da sie ge-
rade Linien enthält, und die rechtsstehende wegen 107 ausgeschlossen
ist, da sie keinen reellen Punkt enthält. Demnach bleibt als Gleichung
des Grenzovals nur die Gleichung übrig:
x² =
2
2
x₁² +
X2²+ X32.
Ein Nicht-Grenzpunkt (xo, X1, X2, X3) ist uneigentlich oder eigentlich,
je nachdem ob in seiner Polarebene
XoYo = X1 Y1 + X2 Y2 + X3Y3
ein Grenzpunkt (Yo, Y1, Y2, У3) liegt oder nicht. Die Elimination von
Yo aus den beiden Gleichungen
XoYo = X1 Y1 + X2 Y2 + X3Y3,
2
Yo² = Y12
2+Y2²+ Уз
2
gibt für Y1, Y2, Y3 die quadratische Gleichung
2 2
(x₁2 - xo²) Y₁² + (x2² - Xo²) Y₂² + (X32 - Xo²) Уз²
+ 2X2X3Y2Y3 + 2X1 X3Y1Y3 + 2X1 X2 Y1Y2
=
0,
welche bekanntlich definit ist, d. h. durch keine reellen Werte Y1,
*) Vgl. z. B. Baltzer, Determinanten (Leipzig 1870) p. 33, 197.
**) Vgl. z. B. Jacobi, Crelles Journal 53 (1857) p. 265 = Werke 3 p. 583.