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IV. Affine Geometrie.
deren keine eine Grenzgerade ist, paarweis schneiden, findet dasselbe
für die sechs Geraden
[AB], [AC], [AD], [BC], [BD], [CD]
statt. Nun gehen z. B. [AB], [AC], [BC] durch keinen Punkt, also
müssen [AD], [BD], [CD] in deren Ebene {ABC} liegen; in dieser
liegen also die Pole A, B, C, D der Ebenen Α, Β, Γ, Δ und die
Polargeraden [AB] usw. der Geraden [AB] usw.
146. Satz: Die Polarebenen der Punkte Peiner Grenzgeraden
[PI] schneiden sich in einer anderen Grenzgeraden [OI] des Punktes
I; die Pole der Ebenen der Grenzgeraden [PI] liegen auf derselben
Grenzgeraden [OI] des Punktes I.
Beweis: Es sei die Polarebene des Punktes P≠ I der Grenz-
geraden [PI]; dieselbe geht durch I und schneide die Grenzebene
von I in der Grenzgeraden [OI]. Ω sei die Polarebene von 0; die-
selbe geht durch P und I, weil O in den Polarebenen von P und I
liegt. Jeder Punkt von [PI] liegt in den Polarebenen von I und O,
also geht seine Polarebene durch [OI]; jede Ebene von [PI] geht
durch P und I, hat also ihren Pol auf den Polarebenen von P und
I, also auf [OI]. Wäre [OI] = [PI], ginge also I durch P, so
wäre Pein Grenzpunkt, also [PI] eigentlich (114), gegen die An-
nahme.
147. Definition: Der Schnittpunkt aller Polarebenen der Punkte
einer uneigentlichen, Nicht-Grenzebene heißt der Pol dieser Ebene.
Die Verbindungsebene aller Pole der Ebenen eines eigentlichen Punktes
heißt die Polarebene dieses Punktes. Die Schnittgerade aller Polar-
ebenen der Punkte einer Grenzgeraden oder die Verbindungsgerade
aller Pole der Ebenen einer Grenzgeraden heißt ihre polare Grenz-
gerade.
148. Satz: Den Punkten, Geraden, Ebenen sind eindeutig ihre
Polaren, Polargeraden, Polarebenen so zugeordnet, daß koinzidieren-
den Elementen koinzidierende Elemente entsprechen.
Beweis ist in 136 bis 146 enthalten.
149. Satz: Die im vorstehenden entwickelte Polarentheorie kann
für die Ebene allein entwickelt werden, wenn und nur wenn in ihr
der Desarguessche Satz gilt.
Beweis: Gilt der Desarguessche Satz, so ist die ebene Geometrie
Schnitt einer räumlichen, also die ebene Polarentheorie als Schnitt
der dann zu entwickelnden räumlichen abzuleiten. Gilt der Desar-
guessche Satz nicht, so gilt der ebene Schnitt des Satzes 148 nicht.
Man definiere nämlich als eigentliche Punkte der Nicht-Desarguesschen