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IV. Affine Geometrie.
und es folgt (III 12, Folg.) VZ₂ getrennt durch II₁, also sicher
Z, V, also W' nicht auf [VW].
118. Satz: Es gibt außer der Identität keine Affinität, in welcher
jeder Grenzpunkt sich selbst entspricht.
Beweis: Ist A irgend ein Punkt, kein Grenzpunkt, und sind
[IJ], [IJ] zwei eigentliche Gerade desselben, so entsprechen in einer
Affinität, in welcher die Grenzpunkte I, J, I₁, J₁ sich selbst ent-
sprechen, auch die Geraden [IJ], [I₁J₁], also auch ihr Schnittpunkt
= ([IJ] [IJ])
A
sich selbst; dieselbe ist also die Identität.
119. Satz: In einer eigentlichen Ebene sind die eigentlichen und
uneigentlichen Geraden eines uneigentlichen Punktes so geordnet, daß
nie zwei eigentliche durch zwei uneigentliche Geraden getrennt sind.
Beweis: Sind A, B eigentliche Punkte und wären die eigent-
lichen Geraden [UA], [UB] des uneigentlichen Punktes U getrennt
durch die uneigentlichen Geraden [UV], [UW], wo V, W auf [AB]
liegen, so wären die eigentlichen Punkte A, B durch die uneigent-
lichen V, W getrennt, gegen 25.
120. Definition: Eine Gerade, die genau einen Grenzpunkt
enthält, heißt „Grenzgerade".
121. Satz: Durch jeden uneigentlichen Punkt, der nicht Grenz-
punkt ist, gehen in einer eigentlichen Ebene genau zwei Grenzgerade.
Beweis: Durch eine eigentliche Gerade A des uneigentlichen
Punktes O und eine uneigentliche Gerade U werden in der Ebene
{AU} alle Geraden von O in zwei Klassen geteilt. Es sollen die
mit einer bestimmten eigentlichen Geraden B von O und {AU} in
derselben Klasse befindlichen eigentlichen Geraden durch B, B', B", . . .,
die in der anderen Klasse befindlichen durch C, C', C", ... bezeichnet
werden. Dann definiere man eine Gerade & und eine Gerade Ď durch
die Anordnungsbeziehungen: es sei AG, BW getrennt und AH, CW
getrennt für alle eigentlichen Geraden B, C (+ A) des Punktes O
und für alle uneigentlichen Geraden W, für welche uneigentliche Ge-
rade W' existieren, so daß AW', BW, resp. AW', CW getrennt sind.
Die Widerspruchlosigkeit dieser Bedingungen folgt genau wie in
105; die Existenz der Geraden G, H auf Grund der Stetigkeit wie in
107, die Eindeutigkeit derselben wie in 108, ferner wie in 106, daß
diese Geraden uneigentlich sind.
Für die Gerade & (z. B.) und jede uneigentliche Gerade W von
O gilt jetzt entweder AG, BW getrennt, oder es existiert keine un-
eigentliche Gerade W', so daß