Zwei Bedingungen wie:
Art. 102-107.
AI, BW getrennt, AI, BW' getrennt
stehen nicht in Widerspruch, da aus ihnen folgt
AB, WI nicht getrennt, AB, W'I nicht getrennt,
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also AB, WW' nicht getrennt, was nach IV 25 S. 179 der Fall ist.
Zwei Bedingungen wie:
AI, BW getrennt, AI, B'W getrennt
stehen nicht in Widerspruch, da aus ihnen folgt:
WA, BI nicht getrennt, WA, B'I nicht getrennt,
also WA, BB' nicht getrennt, was nach 102 der Fall ist.
Zwei Bedingungen wie:
AI, BW getrennt, AI, B'W' getrennt (B+B',W+W')
stehen nicht in Widerspruch.
Denn es sind
AB, WW' nicht getrennte, AB, WI nicht getrennte,
also AB, W'I nicht getrennte Paare; sind nun auch BI, AW' nicht
getrennt, so folgt hieraus und aus B'I, AW' nicht getrennt, daß auch
BB', AW' nicht getrennt sind, in Übereinstimmung mit 104. Andern-
falls findet die Folge W'IAB statt, die mit W'IB'A zusammen (nach
III 14 S. 147) die Folge W'B'AB ergibt, in Übereinstimmung mit 104.
106. Satz: Existieren auf der Geraden & Punkte I, J gemäß
den in 105 aufgestellten Anordnungsbeziehungen, so sind diese Punkte
uneigentliche.
Beweis: Wäre z. B. I eigentlich, so wählen wir auf einer
Geraden & = [BB'] einen Punkt Ĩ zwischen B, B' und bringen
durch eine Affinität den Punkt Ĩ mit I, die Gerade & mit & zur
Deckung; dann entsprechen den eigentlichen Punkten B, B' eigent-
liche Punkte B, B'. Da nun für jeden uneigentlichen Punkt W von
& stets WI, BB' getrennt sind, und die Anordnung erhalten bleibt,
so sind auch WI, BB' getrennte Paare, also einer der Punkte
BB′ z. B. der Punkt B von A getrennt durch WI, also AI, BW
nicht getrennt, gegen die Voraussetzung.
107. Satz: Unter Voraussetzung der Dedekindschen Stetigkeit
existieren auf einer eigentlichen Geraden & Punkte I, J, die den in
105 aufgestellten Anordnungsbeziehungen genügen, wenn darin nun-
mehr für BC alle eigentlichen Punkte B resp. C, für W alle die-
jenigen uneigentlichen Punkte W genommen werden, für welche un-
F
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