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IV. Affine Geometrie.
unserer Nicht-Desarguesschen Geometrie, wenn man in ihr die
Strecken auf den Nicht-Desarguesschen Geraden in der gewöhnlichen
Weise miẞt.
Nicht-Euklidische affine Geometrie.
Für diese ist der Grundsatz charakteristisch:
102. Grundsatz: Auf jeder eigentlichen Geraden liegen mehrere
uneigentliche Punkte; also in jeder Ebene mehrere uneigentliche Gerade,
im Raume mehrere uneigentliche Ebenen. D. h. wenn wir jetzt die
Ausdrucksweise „uneigentlicher Punkt" fallen lassen und zur ursprüng-
lichen Bedeutung derselben zurückkehren:
Zu jeder Geraden & gibt es durch einen Punkt P außerhalb der-
selben in der Ebene (PG) mehr als eine sie nicht schneidende
Gerade.
Hier ist die Bemerkung zu 36 entsprechend zu wiederholen.
103. Wir führen zunächst nach III 150 S. 136 Koordinaten ein, wobei
natürlich auch die uneigentlichen Elemente Koordinaten bekommen,
und ersetzen nunmehr für die Vorstellung die zu behandelnde Nicht-
Euklidische Geometrie durch die ihr zugeordnete Koordinatengeometrie.
G
104. Auf einer (eigentlichen) Geraden & des eigentlichen
Punktes A wähle man zwei uneigentliche Punkte UV, die nach 102
vorhanden sind. Für jeden andern eigentlichen Punkt P der Geraden
sind AP, UV nicht getrennt; also entweder AU, PV getrennt oder
AV, PU getrennt. Die erstern Punkte sollen mit B, B', ..., die
letztern mit C, C', ... bezeichnet werden. Für irgend zwei Punkte
BB' findet entweder die Folge VUBB' oder VUB'B, also z. B. das
erstere statt. Dann folgt aus VUBB' und VUAB (nach III 14 S. 147)
die Folge VABB'; also tritt niemals die Folge AWBB' oder ABWB'
auf, denn aus der ersten Folge und ABB'V folgte ebenso AWBV
(gegen 25 S. 179), und aus der zweiten Folge und ABB'V folgte
ebenso AWB'V. Also findet stets eine der Folgen
ABB'W oder AB'BW statt.
105. Wir wollen Punkte I, J auf der Geraden & gemäß den
folgenden Anordnungsbeziehungen suchen:
Es sei AI, BW getrennt und AJ, CW getrennt für beliebig
viele eigentliche Punkte B, C (+ A) und für beliebig viele uneigent-
liche Punkte W.
Dann ist zunächst die Widerspruchslosigkeit dieser Bedingungen
nachzuweisen.