Art. 68-75.
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70. Satz: Es gibt Dehnungen, in denen ein gegebener Punkt S
sich selbst entspricht; entsprechen A', B' den Punkten A, B, so gehen
[AA′], [BB′] durch S, und ist [A′B′]|| [AB]; liegt S zwischen (resp.
nicht zwischen) A, A', dann auch zwischen (resp. nicht zwischen) B, B′.
Beweis: Die Existenz der Dehnungen folgt aus der der ent-
sprechenden Projektivitäten oder wie folgt: Sind die drei verschie-
denen Punkte A, A', S in einer Geraden, B nicht auf [AA'] gegeben,
so findet man B' als Schnittpunkt von [A'B']||[AB] mit [BS].
Dabei ist die Ordnung von AA'S dieselbe wie die von BB'S.
Durch zweimalige Anwendung dieser Konstruktion wird auch zu
jedem Punkt B auf [AA'] der entsprechende B' gefunden. Daß diese
Konstruktionen eine Kollinearität definieren, folgt wie in 40. Ebenso,
daß außer S kein eigentlicher Punkt, aber jeder uneigentliche Punkt
sich selbst entspricht. Daß aber diese Konstruktionen widerspruchslos
und eindeutig möglich sind, folgt aus den folgenden Sätzen:
71. Definition: Ein Punkttripel A, A', S einer Geraden heißt
ein „Tensor") Zwei Tensoren zweier Geraden eines Punktes S heißen
gleich, wenn
[AB] || [A'B']
ist. Diese Definition ist zulässig, da der Satz besteht:
72. Satz: Sind zwei Tensoren zweier Geraden von S einem
dritten solchen gleich, so sind sie untereinander gleich.
=
=
Beweis: Ist AA'S BB'S, AA'S CC'S, d. h. [AB] || [A'B'],
[AC] = [A'C'], so folgt nach dem Desarguesschen Satze, daß der
Punkt ([BC] [B'C']) auf der (uneigentlichen) Geraden der Punkte
([AB] [A'B′]), ([AC] [A'C']) liegt, d. h. daß [BC]||[B'C'], also
BB'S CC'S ist.
=
73. Satz: Zu jedem Tensor AA'S gibt es einen bestimmten
gleichen Tensor BB'S, wenn B beliebig, nicht auf [AA'] gegeben ist.
Beweis wie zu 43.
74. Definition: Zwei Tensoren AA'S und BB'S einer Geraden
heißen gleich, wenn sie nach 71 einem Tensor einer andern Geraden
gleich sind.
Diese Definition ist zulässig, da jetzt allgemein der Satz besteht:
75. Satz: Sind zwei Tensoren eines Punktes S einem dritten
solchen gleich, so sind sie einander gleich.
Beweis wie zu 45.
*) In anderer Weise eingeführt von Hamilton, Elements of Quaternions,
art. 185, deutsch von Glan (Leipzig 1882) I p. 208.
Vahlen, Abstrakte Geometrie.
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