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IV. Affine Geometrie.
auf den Raum, aber unter Voraussetzung des Desarguesschen Satzes,
das Bestehen der Verknüpfungssätze für die uneigentlichen Elemente
nachweisen, so hat man Folgendes zu beweisen:
Aus den Elementen: „eigentlichen Punkten A, B, C, D, ...,
eigentlichen Geraden & = [AB], ຕູ້ = [CD], ..., eigentlichen und un-
eigentlichen Punkten (GH), (G´Õ´), ..., eigentlichen und uneigent-
lichen Geraden [(GH) (G'H')], ...", entstehen durch Anwendung der
Verknüpfungssätze: „zwei Punkte bestimmen eine Gerade, zwei Ge-
rade bestimmen einen Punkt, durch einen eigentlichen Punkt gehen
nur eigentliche Gerade", keine andern Elemente, als solche der an-
gegebenen Arten. Demnach hätte man zunächst zu beweisen:
a) Ein eigentlicher und ein uneigentlicher Punkt bestimmen
eine eigentliche Gerade; d. h. man kann auf ihr einen zweiten eigent-
lichen Punkt angeben.
Dieser Satz ist von den gegebenen unabhängig; man kann nämlich
eine ebene Geometrie angeben, in der wohl die gegebenen Sätze, nicht
aber Satz a) stattfindet. Betrachten wir in der gewöhnlichen ebenen
Geometrie nur die Punkte (x, y) mit ganzzahligen Koordinaten x, y
als Punkte, und nur diejenigen als eigentliche, bei denen
0≤x<k, 0≤y<k
für eine gegebene ganze Zahl k ist, so bestimmen in der Tat je zwei
eigentliche Punkte eine Gerade, aber z. B. der eigentliche Punkt (0, 0)
und der uneigentliche Punkt (1, k) bestimmen eine Gerade, die außer
(0,0) keinen eigentlichen Punkt enthält, die also aus den eigentlichen
Punkten durch Verbinden nicht konstruiert werden kann.
Demnach ist a) als Grundsatz anzunehmen.
Alsdann beweist man erstens:
b) Eine eigentliche Gerade P und eine zweite eigentliche oder
uneigentliche Gerade [QR] schneiden sich in einem uneigentlichen
Punkt; d. h. man kann eigentliche Geraden dieses Punktes angeben,
z. B. ihn mit einem eigentlichen Punkt P verbinden.
Man ziehe nämlich durch die eigentlichen Punkte A und A₁ auf
die Geraden [AQ] = &, [A₁R] = &₁, was wegen a) immer mög-
lich sein soll; ferner durch einen beliebigen eigentlichen Punkt P, der
nicht auf P, G, &₁ liegt, die Gerade [PQ] = Ď, ferner durch den be-
liebigen eigentlichen Punkt P₂ auf die Gerade [PR] = 1. Dann
verbinde man den eigentlichen Punkt A₁ mit 0 = ([P2A2] [PA]),
dem eigentlichen oder uneigentlichen Schnittpunkt zweier eigentlichen
Geraden, durch eine Gerade [A₁0]; dann sei P₁ der eigentliche oder
uneigentliche Schnittpunkt der beiden eigentlichen Geraden [A₁ O]