Art. 12-24.
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19. Satz: Eine eigentliche Gerade
= [AB] und eine un-
eigentliche Ebene E = {PQR} haben genau einen Schnittpunkt.
Beweis: Man bestimme nach 11 die eigentliche Ebene {PG},
nach 7 die uneigentliche Gerade [QR], nach 18 den Schnittpunkt
S = ({PG} [QR]), nach 7 die Gerade [SP], nach 17 den Schnitt-
punkt ([SP]&); dies ist der gesuchte.
20. Satz: Eine eigentliche Ebene A und eine uneigentliche
Ebene {PQR} haben genau eine Schnittgerade.
Beweis: Man bestimme nach 7 die Geraden [PQ], [PR], nach
18 die Punkte (A[PQ]), (A[PR]), nach 6 oder 7 die Gerade
[(A[PQ]) (A[PR])]; dies ist die gesuchte.
21. Satz: Eine uneigentliche Gerade [AB] und eine uneigent-
liche Ebene E haben genau einen Schnittpunkt.
Beweis: Man bestimme nach 20 die Schnittgerade [AE], lege
durch einen eigentlichen Punkt O die eigentliche Ebene {O [AE]}=
(nach 11), dann ist der Schnittpunkt ([AA] [B]) nach 17 zu be-
stimmen.
22. Satz: Zwei verschiedene uneigentliche Ebenen E, haben
genau eine Schnittgerade.
Beweis: Es seien A, B eigentliche Ebenen; man bestimme nach 20
[ΑΕ], [ΑΔ], [BE], [BA], dann nach 17 die Punkte ([ΑΕ] [ΑΔ]),
([BE] [BA]), dann nach 7 die gesuchte Schnittgerade:
[([ΑΕ] [ΑΔ]) ([ΒΕ] [ΒΔ])].
23. Satz: Drei Ebenen A, Β, Γ, die nicht durch eine Gerade
gehen und die nicht alle drei eigentlich sind, haben genau einen
Schnittpunkt.
Beweis: Man bestimme, eventuell nach 20 oder 22, die Schnitt-
gerade [BT], dann nach 18 oder 19 oder 21 den gesuchten Schnitt-
punkt (Α [ΒΓ]) = (АВГ).
24. Damit ist die Gültigkeit der sämtlichen ebenen und räum-
lichen Verknüpfungsgrundsätze nachgewiesen. Für die Ebene allein
erhält man dies Resultat, indem man alle eigentlichen Punkte Pund
Geraden & derselben mit einem außerhalb derselben liegenden Punkte
O verbindet. Dann wird auch jedem uneigentlichen Punkte (GH)
eine eigentliche Gerade von O, nämlich [{0}{OK}] und jeder
uneigentlichen Geraden [(GH) (G₁₁)] eine eigentliche Ebene von O,
nämlich {[{0G} {OH}] [{OG₁}{OH₁}]} zugeordnet, und das Be-
stehen der ebenen Verknüpfungssätze folgt aus dem Bestehen dieser
Sätze im Bündel, welches ja nach 4 keine uneigentlichen Elemente
enthält. Will man für die Geometrie der Ebene ohne Bezugnahme
Vahlen, Abstrakte Geometrie,
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