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III. Projektive Geometrie.
müssen die Punktpaare AD, PQ und AD', PQ gleichzeitig trennende
oder nicht trennende sein; demnach sind in beiden Fällen DD', PQ
nicht trennende Punktpaare, gegen die Annahme.
46. Satz: Auf einer Geraden [PR] wird der Punkt P durch
Angabe aller das Punktpaar PR trennenden Punktpaare einer relativ
dichten Punktmenge der Geraden eindeutig bestimmt.
Beweis: Es gibt keinen zweiten Punkt Q, so daß jedes Punkt-
paar, welches PR trennt, auch QR trennt; denn ist XY ein Punktpaar
der relativ-dichten Menge, welches PQ trennt, so ist einer der beiden
Punkte, z. B. X, von R getrennt durch PQ; da dann Y von R nicht
getrennt ist durch PQ, so ist entweder PR getrennt durch Y oder
QR getrennt durch PY. Aus den Reihenfolgen PXQY, PXQR,
PQRY (resp. PQYR) folgen (nach 14) PXRY, XQRY (resp. PXYR,
XQYR), so daß sich das Paar XY verschieden verhält in bezug auf
PR und auf QR.
47. Definition: Eine Geometrie heißt „stetig", wenn in ihr
der Grundsatz der Stetigkeit 48 statthat.
48. Grundsatz der Stetigkeit: Es gibt auf jeder Geraden
stets Punkte, welche mit irgend einem gegebenen Punkte der Geraden
zusammen Paare bilden, die zu beliebig vielen gegebenen Paaren in
gegebenen widerspruchslosen Beziehungen des Trennens resp. Nicht-
trennens stehen.
49. Satz: Gilt der Grundsatz der Stetigkeit, so gilt für das
Zahlensystem der Koordinaten der arithmetische Grundsatz der Ste-
tigkeit.
k
Beweis: Die Koordinaten sind die Punktquadrupel p₁=(PEAA).
Liegen z. B. die beliebig vielen Punkte Pr, Qk so, daß stets A, Q und
PA sich trennen, so existiert nach Voraussetzung wenigstens ein
Punkt X so, daß AX, QA, sich trennen und daß AX, PA, sich nicht
trennen; diese Forderungen sind nämlich mit der Reihenfolge Ao PhQkA
nicht im Widerspruch, da aus AA, PhQk getrennt und AA, QX
nicht getrennt von selbst folgt, daß AA, P₁X getrennt, also AX, PA
nicht getrennt sind. Aber aus den Reihenfolgen AP XA, APQKA,
AXQA folgt (nach 14) noch PrXQA und aus dieser, wenn man
Ik = (QEAA) und x = (XEA,A) setzt, (nach 17) p₁ <x<qk oder
hk
Ph
liebig vielen widerspruchslosen Anordnungsbeziehungen genügt.
x > qk, also die Existenz einer Zahl x des Systems, welche be-
50. Satz: Gilt in dem Zahlensystem einer Koordinatengeometrie
der arithmetische Grundsatz der Stetigkeit, so gilt in der Geometrie
selbst der geometrische Grundsatz der Stetigkeit.