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III. Projektive Geometrie
Die Existentialsätze der Anordnung.
21. Als Existentialsätze der Anordnung bezeichnen wir Sätze,
welche die Existenz von Elementen fordern, die gegebenen Anord-
nungsbeziehungen genügen sollen.
22. Definition: Unter einem „Pascalschen Netz" in einer
Geometrie soll ein Netz von Elementen verstanden werden, in welchem
der Pascalsche Satz gilt.
23. Satz: In jeder Geometrie gibt es Pascalsche Netze.
Beweis: Das durch Verbinden und Schneiden aus fünf Punkten
A0, A1, A2, A3, E des Raumes, deren keine vier in einer Ebene
liegen, zu gewinnende Netz ist ein Pascalsches Netz. Für diese
Punkte ergeben sich nämlich nach II 148 p. 135 die Koordinaten:
A=(1000), A₁ = (0100), A2 = (0010), A3 = (0001), E= (1111)
und aus diesen durch Verbinden und Schneiden nur Punkte P = (xyzt)
mit ganzzahligen Koordinaten x, y, z, t (s. 34), für welche also nach
II 110 p. 107 der Pascalsche Satz gilt.
24. Satz: Nimmt man fünf beliebige Punkte eines Pascalschen
Netzes, von denen aber keine vier in einer Ebene liegen, als Grund-
punkte A, A1, A2, A3, E, so bekommen alle Punkte des Pascalschen
Netzes Koordinaten aus einem Zahlensystem mit kommutativer Mul-
tiplikation.
Beweis folgt aus II 122 u. 148.
25. Definition: Ein Netz heißt „dicht", wenn es zu jedem
Punktpaar des Netzes ein trennendes Punktpaar des Netzes gibt.
Ein Netz heißt „relativ-dicht", wenn es zu jedem Punktpaar einer
Geraden des Netzes ein trennendes Punktpaar des Netzes gibt.
26. Grundsatz der relativen Dichte: Es gibt ein relativ-
dichtes Pascalsches Netz.
Betreffs der Unabhängigkeit dieses Satzes
von allen vorhergehenden s. 31.
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27. Satz: Gilt in einer Geometrie der Grundsatz der relativen
Dichte, und wählt man fünf Punkte des relativ-dichten Pascalschen
Netzes, von denen keine vier in einer Ebene liegen, als Grundpunkte
A0, A1, A2, A3, E, so bekommen alle Punkte Koordinaten aus einem
Zahlensystem, in welchem der (arithmetische) Grundsatz der relativen
Dichte gilt.
Beweis: Das Zahlensystem besteht aus den Punktquadrupeln
p = (P₁₁AA₁), q = (Q₁E₁ AA₁)
usw. Wird nun das Paar P₁₁ durch zwei Punkte X, Y des relativ-
dichten Pascalschen Netzes getrennt, so gehört entweder X oder Y