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III. Projektive Geometrie.
Beweis: Für vier in einer Geraden liegende verschiedene Punkte
A, B, C, D werde folgendermaßen eine Anordnung festgesetzt. Es
werde eine Koordinatentransformation vorgenommen, bei welcher
A = (1000), C = (0100), ferner zwei beliebige Punkte, mit AC in
keiner Ebene, = (0010) und = (0001), ein beliebiger Punkt
der Ebene {B, (0010), (0001)}, in keiner der Geraden [B(0010)],
[B(0001)], [(0010) (0001)], gleich (1111), also B = (1100) wird.
Wird dann D = (x, y, 0, 0), so ist x = 0, man kann also y = r,
D = (1, p, 0, 0) setzen, und es ist p≠ 0, + 1, so daß einer der drei
Fälle statthat:
1) p < 0, 2) 0<p<1, 3) 1 < p.
1
Im ersten Fall sagen wir: es sind BD und AC getrennt, im zweiten
Fall: es sind CD und AB getrennt, im dritten Fall: es sind AD und
BC getrennt. Jede beliebige Transformation:
x' = ax + by + coz + dot
y' = ax + by + cz + d₁t
z' = a2x + bay + C₂z + dat
t'
=
a3x + b3y + C3z + d3t,
bei welcher A, B, C dieselben Koordinaten erhalten, hat die Form
x' = x + coz + dot
y = y + cz + d₁t
2' =
=
C2z + dat
C3z + d3t,
so daß auch D dieselben Koordinaten (1, p, 0, 0) erhält. Bezeichnet
man die Koordinatenquadrupel (1000), (1100), (0100), (1p00)
kurz mit 0, 1, ∞, p, so ist zu zeigen, daß jede Transformation von
irgend dreien der A, B, C, D in 0, 1, zu derselben Anordnung von
A, B, C, D führt.
Die Transformation
S)
Y
Y
= x
1
ist
nun p < 0, SO ist auch
führt A, B, C, D über in ∞, 1, 0,
1
P
1 <0, also BD und AC getrennt; ist 0<p<1, so ist > 1,
1
P
P
also CD und AB getrennt; ist 1<p, so ist 0 <- <1, also AD
und BC getrennt; in Übereinstimmung mit den früheren Festsetzungen.