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II. Projektive Geometrie.
also auch
A1, A0, E1, ([G' Q₂] [A, A₁]).
Andererseits sind
A1, A0, E1, F₁
harmonisch, demnach ist
1
Nun ist
F₁ = ([G' Q2][AA₁]), d. h. Q₂ = ([AA₂] [F₁G']) = H₂.
1
X2
2
X₁ = (QAA),= (HFAA),
1
also
1
ξι
X1
= (EFAA) = – 1,
X2
2
oder
X₁₁ + X22 = 0.
Sollte aber z. B.
1
= (H₂FAA2) = 0,
2
also
sein, so ist
H₂ = A
2
G' = A₁, G = A₁, & = [AA1],
also
1
X2
= (EQAA₁) = 0,
X1
denn es wird
Q₁ = ([AA₁][GE₂]) = A₁.
136. Satz: Für eine ebene Geometrie ist das Bestehen des
Desarguesschen Satzes die notwendige und hinreichende Bedingung
für die Einführbarkeit von Koordinaten.
Beweis folgt einerseits aus 84, andererseits aus den Entwick-
lungen von 113 bis 135.
137. Satz: Für eine ebene Geometrie ist das Bestehen des
Desarguesschen Satzes die notwendige und hinreichende Bedingung
dafür, daß sie Schnitt einer räumlichen Geometrie ist.*)
Beweis ergibt sich einerseits aus 58, andererseits kann man nach
113 bis 135 in die ebene Desarguessche Geometrie Koordinaten ein-
führen und alsdann die aus demselben System zu bildende räumliche
Geometrie der Punkte (xo, X1, X2, X3) betrachten; von dieser ist die
ebene Geometrie der sich für x3 = O ergebende Schnitt. Mehr geo-
metrisch beweist man dasselbe, indem man als „Raumgerade" jedes
Geradenpaar [G'G"] der betrachteten Ebene, als „Raumpunkt" jedes
*) In affiner Spezialisierung d. h. unter Hinzunahme des Parallelen-Axioms
bewiesen bei Hilbert, Grundlagen der Geometrie § 30.