Art. 101-106.
105
Beweis folgt aus den definierenden Konstruktionen für Har-
monie und Involution.
103. Satz: Wenn nur der erste Harmoniesatz gilt, so ist mit
ABCD zugleich A'B'C'D harmonisch, wenn und nur wenn [AA'],
[BB'], [CC'] durch einen Punkt T gehen.
Beweis: Ist ([A'B], [AB]) = U, so geht [TU] wegen der Har-
monie von A, B, C, D durch C, also auch durch C', d. h. auch
A', B', C', D liegen harmonisch.
104. Satz: Wenn nur der erste Harmoniesatz gilt, so ist mit
ABCD zugleich A'B'C'D' harmonisch, wenn A = [AA'], B = [BB],
C = [CC'], D = [DD'] durch einen Punkt gehen.
Beweis: Ist [C'D] = &, so sind nach Satz 103 zunächst (AG),
(BG), (CG), (DG) und dann nach demselben Satze A', B', C', D'
harmonisch.
105. Satz: Wenn nur der erste Harmoniesatz gilt, so gilt auch
der zweite, und zwar nicht nur in einer Koordinatengeometrie.
Beweis: Nach Satz 103 müssen (in derselben Bezeichnung)
U, T, C, C' harmonisch sein, da [AU], [BT], [C'D] durch einen
Punkt B gehen. Setzt man also ([UB'], [TD]) = V, ([TB], [UD]) = U',
so muß nach dem ersten Harmoniesatz wegen der Harmonie von
U, T, C, C' die Gerade [U'V] durch den Punkt C gehen.
Also ist ([CU'], [TD]) = V, ([DU'], [TC]) = U, und [UV]
geht durch A, d. h. es ist C, D, A, B harmonisch.
106. Definitionen: Ein ebener Schließungssatz, welcher auf
Grund des bloßen Desarguesschen Satzes bewiesen wird, heißt ein
„Desarguesscher Schließungssatz". Ein Desarguesscher Schließungssatz,
der bloß auf Grund des ersten Harmoniesatzes beweisbar ist, heißt ein
„harmonischer" Schließungssatz, sonst ein „involutorischer". Das
Aufsuchen harmonischer resp. involutorischer Punkte zu gegebenen
Punkten einer Geraden soll „harmonische" resp. „involutorische"
Konstruktion auf der Geraden heißen. Gelangt man von denselben
gegebenen Punkten einer Geraden durch zwei verschiedene harmo-
nische resp. involutorische Konstruktionen zu demselben Punkte, so
erhält man einen „harmonischen resp. involutorischen Schließungssatz
auf der Geraden". Die Gesamtheit dieser Sätze bildet die „harmo-
nische" resp. „involutorische" Geometrie auf der Geraden. In einer
Geometrie auf der Geraden, in welcher Schließungssätze nicht gelten,
gibt es überhaupt keine Sätze außer den selbstverständlichen, wie
z. B. daß aus A = B, B = (+) C stets A = (+) C folgt. Die ge-
troffenen Festsetzungen sind auf die Geometrie des Geraden- und
des Ebenenbüschels sinngemäß zu übertragen. Alle diese Geometrien