Art. 98-100.
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X = ([BZ], [A'T]), Y = ([AZ], [BT]), C = ([XY], [AB]).
99. Aufgabe: Den Punkt C' zu konstruieren, wenn die fünf
übrigen Punkte der Involution (ABC) gegeben sind.
Auflösung: Man wähle T beliebig, aber nicht auf [AB],
X+ A', + T, sonst beliebig auf [A'T] und konstruiere:
Y = (\BT], [CX]), Z = ([BX], [AY]), C' = ([ZT], [AB]).
100. Satz: Sechs involutorische Punkte
involutorische Abszissen.
Beweis: Die Gleichungen aus 96 ergeben:
(ABC) haben sechs
A' B' C'
(1)
(2)
(3)
[a' = αα + α₁b
b' = βα + βι
=
γαα + δβι
α + α₁ = 1
β + β₁ = 1
γα + δβ₁ = 1
b
(γ – δ) c = (γα – δβ) α + (γα΄ – δβ΄) δ.
Aus den Gleichungen (1) folgt:
a-b
α
1
a
a-a
a-b'
β =
b'-b
a-b'
β₁ =
a
b'
b'
aus den Gleichungen (2):
also:
a-b'
c-b
γ
δ
a-
b'
γα = -, δβ₁ = "-,
a
a-c
-b'
a
c'
a-b'
Setzt man die gefundenen Werte in die Gleichung (3) ein, so er-
hält man:
also:
d. h.
oder
b
a
c=
c-b'
c'-a'
a-b
=-=== a + a = b,
b
a
b'
a-
b
b
(a-1) (a - c) = -(-1) (c-b
b-c'
- a
a
c'
- (ac) (0-0),
a
=
b
(а - с) (b - c) -1 (b – a') = − (b' – а) (b - c) -1 (a' - c')
(abca') = (ac'b'a'),
welche Gleichung in I 110 (S. 34) als definierende Relation für eine
Involution von sechs Zahlen (ab) aufgestellt wurde.