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II. Projektive Geometrie.
bar keine Lösung für x, y, z zu. Existiert aber eine solche Lösung
x, y, z, ist also al + yl" + l'"" = 0, so ist auch x + kxo, y + kyo,
z + kz, für jeden Wert von k eine Lösung der Gleichungen, wenn
Xo, Yo, zo eine Lösung von zweien, also auch der dritten der Glei-
chungen ist:
xοξ΄ + yon' +
५′ = 0
xοξ" + yon" +
" = 0
xo§'"' + Yon'"' +
"
०५′′′ = 0.
79. Definition: Durch die drei Gleichungen des Satzes 78
werden jedem Punkte (x, y, z) die neuen Koordinaten x, y, z eindeutig
zugeordnet. Diesen Übergang von den alten zu den neuen Koordi-
naten bezeichnet man als „Transformation" der Koordinaten.
80. Satz: Durch Koordinatentransformation wird die Geometrie
der Punkte (x, y, z) auf die der Punkte (x, y, z) kollinear abgebildet.
Beweis: Die Eindeutigkeit der Abbildung folgt aus 78. Ferner
entsprechen den drei in einer Geraden liegenden Punkten
(x', Y', z'), (x", Y", z"), (λ'x' + λ"χ", λ'ψ' + λ" υ", λ'α + λ"")
die drei Punkte
(x', Y', z'), (x", Y", ສ”), (X', Y', ''),
welche in einer Geraden liegen, weil
κ''' = (λ'x' + λ"x") ξ' + (λ'y' + λ"y") η' + (λ'z' + λ"") ζ
= λ' (x'ξ' + ν'η' + 'ζ') + λ" (x" ξ' + υ" η' + z"ζ') = λ'x' + λ"π"
und ebenso
ỹ" = l'ỹ' + l" "
'""' = ' ' + '""
ist. Dasselbe gilt umgekehrt, da sich (nach 78) x, y, z durch X, Y, Z
vermittelst eines Gleichungssystems derselben Form ausdrücken lassen.
81. Aufgabe: Sind P = (x, y, z), P' = (x', y', z'), P" = (x", y", z"),
P'"' = (x'', y'", z") vier beliebige Punkte, von denen keine drei in
einer Geraden liegen, so folgt aus den Axiomen die Existenz von
Geraden, welche durch keinen der vier Punkte gehen; z. B. ist
G = [[PP'], [P"P""]), ([PP"], [P'P'''])] eine solche. Man soll die
Koordinaten irgendeiner solchen Geraden angeben.
Auflösung: Man kann z. B. die Koordinaten der Geraden & aus-
rechnen, oder man kann wie folgt verfahren. Da P', P", P"" nicht