Art. 68.
77
sammenfallen des Punktes (x, y, z, t) mit der Ebene {ξ, η, ζ, τ} durch
die Gleichung
xξ + y + zζ + tr = 0
definiert, welche bei variablen x, y, z, t Gleichung der Ebene (ξ,η, ζ, τ},
bei variablen ξ, η, ζ, τ Gleichung des Punktes (x, y, z, t) heißen soll.
Als Gerade schließlich werde die Gesamtheit von Punkten zweier ver-
schiedener Ebenen definiert. In dem so definierten System von Punkten,
Geraden, Ebenen gelten die räumlichen Axiome.
Beweis: Zwei verschiedene Ebenen {ξ΄, η΄, ζ΄, τ΄}, {ξ", η΄΄, ζ΄, τ" }
bestimmen nach Definition eine Gerade, bestehend aus allen Punkten,
die den Gleichungen
=
αξ΄ + ψη' + κζ' + tr' 0
αξ" + ψη" + zζ" + tr" = 0
genügen. Sind (x, y, z', t'), (x", y", z", t") zwei verschiedene Punkte
dieser Geraden, so ist offenbar bei beliebigen d', λ", die nicht beide
verschwinden, auch (λ'x' + λ"χ", λ'ψ' + λ"y", λ'ε' + λ"ε", λ't' + λ"t")
ein Punkt der Geraden. Daß alle Punkte der Geraden hierin enthalten
sind, wird unten bewiesen.
Um die gemeinsamen Punkte einer Ebene {ξ, η, ζ, τ} und einer
Geraden (λ'x' + λ"χ", λ'ψ' + λ"y", λ' α' + λ"z", λ't' + λ"ť") zu be-
stimmen, hat man d', λ" gemäß der Gleichung
)λ'x' + λ"χ")ξ + (λ'y + λ"y')η + (λ'z' + λ"z"(§ + )ג't' + λ"τ")τ = 0
oder
λ΄ (α'ξ + Υη + α'ζ + t'r) + λ" (x"ξ + y"η + z"ζ + t"t) = 0
zu ermitteln.
Verschwinden die beiden Koeffizienten:
κ' = χξ + ψη + ε'ζ + τ'τ
u" = x"ξ + y"η + ε"ζ + t"τ,
d. h. liegen zwei verschiedene Punkte (x', y', z', t'), (x", y", z", t") der
Geraden in der Ebene, so bleiben d' und λ" unbestimmt, d. h. jeder
Punkt der Geraden liegt in der Ebene. Verschwindet wenigstens
einer, z. B. u", nicht, so erhält man d' =
u
u
z'
u
also
(x – x, y – Y", - ", t'-")
u
als einzigen gemeinsamen Schnittpunkt.
"
Daraus folgt ferner, daß drei verschiedene Ebenen entweder einen
einzigen Schnittpunkt oder eine Gerade gemein haben. Sind {ξ΄, η΄, ζ΄, τ' },