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II. Projektive Geometrie.
Gerade, wenn sie „identisch" sind. In entsprechender Weise sind die
übrigen Sätze abzuändern.
Solche „singulären" Geometrien sind z. B. Studys Geometrie der
Dynamen und Geometrie der Somen*): ebene bzw. räumliche Geometrien
von Punkten mit dualen Koordinaten (s. I 46, p. 17). Man kann in
einer „singulären" Geometrie Netze von lauter nichtsingulären Elementen
bilden, in denen also trotz der singulären Koordinaten alle Verknüpfungs-
sätze ausnahmslos genau wie in einer „nichtsingulären" Geometrie
gelten.
Um dies nur für eine ebene Geometrie mit dualen Koordinaten
a + bi (mit i² = 0) zu zeigen, betrachte man das System der Punkte:
(1+(m+n)i, m+(1+n)i, n + (l + m) i) = Pı,m,n,
wo l, m, n nicht alle drei gleich Null sind, und der Geraden:
[λ – (μ + v)ί, μ - (λ + v) i, v - (1 + μί] = Βλμανι
wo λ, μ, v nicht alle drei gleich Null sind. Dieselben bilden ein
Netz, denn die beiden verschiedenen Punkte Pi,m,n, PV, m', n' bestimmen
die Gerade &λ,μ,ν mit λ = mn' - m'n, μ = nl' - n'l, v = lm' - I'm,
welche in der Tat zu dem betrachteten System gehört, weil niemals
λ=μ=r=0 sein kann; dann würde nämlich, für z. B. n + 0:
n
n
ι
=
1, m'
=
n'
m,
n
n
n'
n
n,
d. h. Pi, m, n = Pr,m',n' folgen, gegen die Voraussetzung. Ebenso be-
stimmen zwei verschiedene Gerade des Systems einen Punkt desselben.
Dieses Netz enthält keinen singulären Punkt (ai, bi, ci); denn 1=0,
m = 0, n = 0 ergäbe nur (0, 0, 0), keinen Punkt des Netzes; ebenso
enthält das Netz keine singuläre Gerade.
Eine ebene singuläre Geometrie erhält man z. B. auch, wenn man
die Punktpaare (AB) und Geradenpaare [AB] einer nichtsingulären
Geometrie als „Punkte" und „Geraden" auffaßt. Die beiden verschie-
denen Punkte (AB), (A'B') bestimmen die Gerade [[AA'][BB']] im
allgemeinen eindeutig, nämlich wenn sie nicht halbidentisch (A = A'
oder B = B') sind; usw.
68. Satz: Unter Zugrundelegung eines Zahlensystems wie in 61
werde ein Zahlenquadrupel (x, y, z, t), wo x, y, z, t nicht alle Null
sind, als Punkt, zwei Punkte (x, y, z, t), (λα, λy, λα, λt), wo a von
Null verschieden ist, als identisch, ebenso ein Zahlenquadrupel derselben
Art {ξ, η, ζ, τ} = {ξι, ηι, ζι, τι} als Ebene bezeichnet und das Zu-
*) Study, Geometrie der Dynamen (Leipzig 1903) p. 556.