Art. 61.
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kommutative Gesetz der Multiplikation gilt, werde ein Zahlentripel
(x, y, z), wo x, y, z nicht alle drei Null sind, als Punkt, zwei Punkte
(x, y, z), (λα, λy, z), wo λ eine beliebige von Null verschiedene
Zahl bezeichnet, als identisch, sonst als verschieden, ebenso ein Zahlen-
tripel derselben Art [ξ, η, ζ] = [ξι, ηι, ζ1] als Gerade bezeichnet und
das Zusammenfallen eines Punktes (x, y, z) mit einer Geraden [ξ, η, ζ]
durch die Gleichung xξ + y + zζ = 0 definiert, welche bei variabeln
x, y, z Gleichung der Geraden [ξ, η, ζ] bei variabeln ξ, η, ζ Gleichung
des Punktes (x, y, z) heiße. In diesem System von Punkten und
Geraden gelten die ebenen Axiome der Verknüpfung.
Beweis: Zwei verschiedene Punkte (x', y, z), (x", y", z") be-
stimmen eine Gerade [ξ, η, ζ], deren Gleichung xξ + yn + 2ζ = 0 sich
durch Elimination von ξ, η, ζ hieraus und aus
x'ξ + y η + z'ζ = 0
x"ξ + y"η + z"ζ = 0
2
ergibt. Man kann z"≠0 annehmen und erhält
(x-x) + (y -
(x - x) + (y -
z
z"
Z
ν") η = 0
y") η = 0.
Man kann ferner wegen der Verschiedenheit der beiden gegebenen
Punkte sicher eine der beiden Größen x'
z'
X",
die erste, als von Null verschieden annehmen und erhält
X
2
z"
x"
x"
z
(y - y")
z'
etwa
,
2
= y
Y",
x'
als Gleichung der Geraden.*) Ebenso ergibt sich, daß zwei ver-
schiedene Gerade einen Schnittpunkt bestimmen. Daß aber zwei ver-
schiedene Gerade [ξ΄, η΄, ζ΄], [ξ", η", ζ"] nicht zwei verschiedene Schnitt-
punkte (x', y', z'), (x", y", z") haben können, ergibt sich aus den
Gleichungen
x' ξ' + y η' + z' ζ' = 0
x"ξ' + y" n' + '" ५′ = 0
x' ξ" + y' η" + z' ζ' = 0
x"ξ" + y"n" + "" = 0
*) und zwar nicht der ausgeschlossenen [0, 0, 0].