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II. Projektive Geometrie.
ebenso:
P = ([SP'], E) = ({SBC'}, {SB₁C₁'}, E)
= ([{SBC'}, E], [{SB₁C₁'}, E]) = ([BC], [B₁C₁]),
Q = ([AC], [A₁C₁]),
womit der Satz bewiesen ist.
59. Satz: Wenn eine ebene Geometrie nicht Schnitt einer räum-
lichen ist, so braucht in ihr der Desarguessche Satz nicht zu gelten:
derselbe ist keine Folge der ebenen Axiome, denn es existiert eine
ebene „Nicht-Desarguessche" Geometrie.
Beweis: Unter Zugrundelegung des Systems der gemeinen reellen
Zahlen bezeichnen wir das Aggregat zweier solcher Zahlen (x, y) als
einen Punkt, ferner die Gesamtheit der Punkte, welche entweder den
Bedingungen:
xcosa + y sin a
oder den Bedingungen:
P
λη (x2
p, x² + y²
² + y² - 1) = x cos a + y sin a
genügen, als Gerade
gungen
cos a sin &
P
,
P
1
p, x²+ y²<1
(p ≥0)
; hier sei eine nur den Bedin-
0<< für p
2
+ const.
2.
P
λο =
0
P
0,
entsprechende, im übrigen beliebig gewählte stetig von Null an
1
2
wachsende reelle Funktion von p, z. B. p = tg arc sin P. Für diese
Geometrie gelten die ebenen Axiome der Verknüpfung*), wie man
am einfachsten nach anschaulicher Interpretation**) erkennt. Dann
wird nämlich das innerhalb des Kreises x² + y² = 1 liegende Stück
AB einer Geraden [AB] durch einen Kreisbogen AB ersetzt, der
zwischen der Sehne AB und dem zu x² + y² = 1 senkrechten Kreis-
1
*) Die Gerade [0, 0] und die auf ihr liegenden Punkte werden nicht aus-
geschlossen.
**) Diese Interpretation in der gewöhnlichen ebenen Geometrie kann un-
bedenklich verwendet werden, da die Begründung dieser Geometrie zwar erst
später, aber unabhängig von 59 erfolgt. Die obige Nicht-Desarguessche Geometrie
ist einfacher als die von Hilbert (Grundlagen § 23) zu demselben Zweck kon-
struierte, in welcher die Geradenstücke innerhalb einer Ellipse durch Kreis-
bogen ersetzt werden.