62
II. Projektive Geometrie.
Beweis: Die nach 43 existierenden Punkte G, H, für welche
ABCG=DEG=0 und ABCH=DFH= 0 ist, liegen in {ABC}
und nach 20 in {DEF}.
45. Satz: Drei verschiedene Ebenen haben einen Punkt oder
eine Gerade gemein.
Beweis aus 43 und 44.
46. Definitionen: Alle Geraden und Ebenen eines Punktes
bilden ein „Bündel", alle Geraden und Punkte einer Ebene bilden ein
„Feld"; alle Ebenen einer Geraden bilden ein „Ebenenbüschel", alle
Punkte einer Geraden bilden eine „Punktreihe"; alle Geraden einer
Ebene und eines Punktes bilden ein „Geradenbüschel".
Das Aufsuchen der Geraden zweier Punkte, der Ebene dreier
Punkte oder eines Punktes und einer Geraden oder zweier Geraden
eines Punktes heißt „Verbinden", das Aufsuchen der Geraden zweier
Ebenen, des Punktes dreier Ebenen oder einer Ebene und einer Geraden
oder zweier Geraden einer Ebene heißt „Schneiden". Eine endliche
Reihenfolge von Operationen des Verbindens und Schneidens heißt
„Konstruktion". Eine Aussage, daß man durch zwei verschiedene
Konstruktionen von denselben Grundelementen (Punkten, Geraden,
Ebenen) ausgehend zu demselben Elemente (Punkt oder Gerade oder
Ebene) gelangt, heißt ein „Schließungssatz". Die Gesamtheit der Ele-
mente, die sich durch Konstruktion aus gegebenen Grundelementen
ableiten lassen, heißt das „Netz" dieser Grundelemente. Ein Netz
kann „endlich" oder „abzählbar" oder „stetig" sein. (Die Stetigkeit ist
erst auf Grund der Anordnungsaxiome definierbar.)
Liegt ein Punkt in einem Punkte oder einer Geraden oder einer
Ebene, eine Gerade in einer Geraden oder einer Ebene, eine Ebene
in einer Ebene, so sollen die Elemente „koinzidierend" heißen.
Ein System von m Punkten und n Geraden einer Ebene der-
art, daß die m Punkte zu je u auf einer der n Geraden liegen und
daß die n Geraden zu je v durch einen der m Punkte gehen, heißt
eine ebene „Konfiguration" (m, n); es wird (mu, m) = (m) gesetzt.
Analog sind Konfigurationen des Bündels und des Raumes zu de-
finieren.
47. Satz: Ein ebenes Netz von abzählbar viel Grundpunkten
kann nur abzählbar, von endlich viel Grundpunkten auch endlich sein
und bildet dann eine Konfiguration (μ² - μ + 1).
Beweis: Sind P1, P2 zwei beliebige Punkte des Netzes und
wählt man P3, P4, der Reihe nach so, daß niemals P im Netz
der Punkte P₁1, Pa,, Ph-1 enthalten ist, so bildet die endliche oder
abzählbare Menge von Punkten P1, P2, P3,
eine Menge von Grund-