Art. 6-17.
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man
Dieser Satz ist unabhängig von den vorhergehenden Grundsätzen
und Definitionen. Denn man bezeichne z. B. als „Punkte" die Qua-
drupel von vier teilerfremden ganzen Zahlen
(x, y, z, t), die nicht alle O und deren letzte,
t, gleich O oder 1 ist. Ein Quadrupel (kx,
ky, kz, kt) definiere für alle ganzen Zahlen
k≠0 denselben Punkt. Als „Gerade" der
„Punkte" (x, y, z, t), (x', y', z', t') bezeichne
die Gesamtheit der in (kx + k'x',
ky+k'y', kz + k'z', kt + k'ť) für alle ganzen
Zahlen k, k enthaltenen „Punkte". Dann
bestehen offenbar die Grundsätze und Defi-
D
E
B
C
A
F
nitionen 2, 4, 7, 8, 9, aber nicht 11, da z. B. die Punkte A = (0001),
B = (1101), C = (1301), D = (3101), E = (2201), F = (1303) wie
in 11 liegen, aber F kein „Punkt" in dem hier festgesetzten Sinne
ist (s. Fig.)
12. Satz: Es ist {ABC} = {ACB}.
Beweis: Ist Dein Punkt von {ABC}, existiert also E, so daß
ABE=CDE = 0 ist, so ist D auch Punkt von {ACB}, denn es
existiert (nach 11) ein Punkt F so, daß ACF = BDF = 0 ist.
13. Satz: In {ABC} sind alle Permutationen gestattet.
Beweis aus 10 und 12.
14. Satz: {ABC} enthält [AB].
Beweis: Ist D ein Punkt von [AB], also ABD = 0, dann ist
ABE = CDE = 0 für E = D, also Dein Punkt von {ABC}.
Folgerung aus 4, 13, 14: {ABC} enthält [BC], [AC], A, B, C.
15. Satz: Ist D ein Punkt von {ABC}, dann C von {ABD}.
Beweis: Es existiert E so, daß ABE = CDE = 0 ist, also
auch so, daß ABE = DCE = 0 ist, d. h. C liegt in {ABD}.
Folgerungen: 1) Es liegt auch Bin {ACD}, A in {BCD}.
Bezeichnet man diese Lage mit ABCD = 0, so sind hierin also alle
Permutationen gestattet.
2) aus 14: wenn ABD = 0, dann ABCD = 0.
16. Satz: Sind D, E Punkte von {ABC), dann A von {CDE}.
Beweis: Es existieren (9) Fund G so, daß CDF=ABF= 0,
CEG = ABG = 0 ist. Also ist (7) [AG] = [AB], [CG] = [CE],
also DCF
AGF = 0, und (11) DAH = CGH = CEH = 0, d. h.
A Punkt von {CDE}.
=
17. Satz: Sind D, E, F drei Punkte von {ABC} und DEF+0,
dann ist jeder Punkt G von {ABC} Punkt von {DEF}.
Beweis: Aus ABCD=ABCE = 0 folgt (16) ABDE = 0, aus