=
keine Lösung, da für x > oder
oder <0 stets x² + 1 >
soll aber dem System der reellen Zahlen eine Zahl i, die
Einheit", hinzugefügt werden, definiert erstens durch die C
i² + 1 = 0,
zweitens durch die Forderung, daß in dem erweiterten Sy
System der „imaginären *) Zahlen", die distributiven Geset
assoziative Gesetz (ab) c = a (bc), wo a, b, c reell oder gle
gelten sollen. Dann folgt nämlich, daß allgemein A und C ge
B daraus, daß (a+bi) (c+di) = 0 die Gleichung (a² + b²) (
nach sich zieht. Die Gleichung
x² + 1 = 0
mat dann (s. 90) nur die zwei Wurzeln + i, — і.
92. Satz: In einem System mit A, B, ohne Chal
Gleichungen, z. B. axa' + bxb' + cxc' + d = 0 im allgemei
ich viele Lösungen.
Beweis: Es genügt, im System der Quaternionen eine
on der Form xu + bx + c = 0 mit beliebig vielen Lösun
tellen. Man wähle für a und & beliebige, ganzzahlige Qu
o daß αξ≠ξα; dann b so, daß §a+b=0. Jetzt ist
enn aus ξa+b=0, §2a + b² = 0 würde für ξ = α + βι
olgen:
2
§² - 2αξ + (a² + β² + γ² + δ²)} a + b {§² – 2αξ + α² + β² + γ
so
(α² + β² + γ² + δ²) (a + b) = 0, a = − b,
a = αξ, gegen die Wahl von a und §. Setzt man
ξ² + b² + c = 0,
Zuerst bei Descartes 1. c.