Geordnete Gruppen. 69-70. Zahlensysteme. 71-79.
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- a = - b + b + b + a + a − a = b + a. Gilt nur ein distributives
Gesetz, wie z. B. beim Multiplizieren und Potenzieren (ab)²= a²bº, so
braucht keine der beiden Kompositionen kommutativ zu sein.
75. Das Zahlensystem kann „assoziativ" sein, d. h. es kann
das assoziative Gesetz der Multiplikation bestehen:
A
(ab)c = a(bc).
Daß es nicht zu bestehen braucht, beweisen die Oktaven (45).
76. Definition: Eine Zahl a heißt „singulär“, wenn
selbe nicht das „binäre" Gesetz der Multiplikation gilt:
für die-
B
Aus ab = ab'
aus ba = b'a
folgt b = b',
folgt b = b'.
Demnach ist O eine singuläre Zahl. Ein Zahlensystem heißt singulär,
wenn es noch andere singuläre Zahlen außer der Null enthält. In
einem nichtsingulären Zahlensystem folgt aus ab = 0 entweder a 0
oder b = 0; während in einem singulären Systeme a(b-b') = 0 und
a = 0, b - b'≠ 0 sein kann.*)
Daß das binäre Gesetz der Multiplikation nicht für alle Zahlen
+0 zu bestehen braucht, beweisen die dualen Zahlen (s. 46).
77. Definition: Mit 1 („Eins") werden diejenigen nichtsin-
gulären Zahlen bezeichnet, für welche
1.1=1
ist. Solche Zahlen brauchen nicht vorhanden zu sein, wie das System
2, 3, 4,... beweist; es sollen aber stets diese Zahlen auf Grund der
obigen beiden definierenden Eigenschaften dem System hinzugefügt
werden.
78. Sätze: A (s. 75) vorausgesetzt, ist a1=a. Denn aus
(a-1).1 = a (1.1)=a.1 folgt a1=a. Ebenso 1a = a.**) Ferner
a.(-1)=-a; denn aus a + (− a) = 0 = a· 0 = a (1 + (-1)) = a·1+
a. (-1) folgt a = a. (-1). Ebenso a = (-1) a. Ferner: es
gibt nur eine nichtsinguläre Zahl 1 definiert durch 1.1 = 1. Denn
aus aa = a = a1 folgt entweder a = 1 oder a singulär.
79. Definitionen: Man setzt 1+1=2 (zwei), 2+1 = 3
(drei) usw. Die Zahlen... - 3, — 2, — 1, 0, +1, + 2, ... heißen
die „ganzen" Zahlen. Man setzt a¹ = a, ak+1= a^a („Potenzen"
von a) usw.
*) Singuläre Zahlen heißen bei Weierstraß „Teiler der Null".
**) Eine Zahl e dieser Art, daß stets ae=ea=a ist, heißt bei Stolz
(s. Stolz und Gmeiner, Theoretische Arithmetik II, Leipzig 1902, p. 282) eine
indifferente Zahl oder ein Modulus.