Aus (6) und (7)
(8)
Aus (2), (3), (8)
(9)
Geordnete Gruppen. 62-68.
O unter (3a-b-c-d, b-a, c-d).
O unter (3a-b-c-d, 3b-a-c―d, c―d).
Ferner aus
folgt
O über (b-a, c―d, d
a)
-a
O unter (3a-b-c-d, b-a, c-a)
und
(10)
O unter (3a-b— c —d, b.
a, c—b),
aus (4) und (10)
(11)
Ebenso
(12)
O unter (3a-b-c-d, 3b-a-c-d, c—b).
O unter (3a-b-c-d, 3b-a-c-d, c-a).
Aus (9), (11), (12)
also
ebenso
O unter (3a-b-c-d, 3b-a-c-d, 3c-a-b-d),
a+b+c+d unter (4a, 4b, 4c),
a+b+c+d über (4b, 4c, 4d)
21
und
und
also
a+b+c+d unter (4c, 4d, 4a)
a + b + c + d über (4d, 4a, 4b),
a+b+c+d zwischen (4a, 4b, 4c, 4d).
67. Satz: In einer überplanar geordneten Gruppe folgt aus a
über (0, x, y) und b nicht unter (0, x, y) stets a + b über (0, x, y).
Beweis: Es gehören (61) 0, a, a + a in dieser Ordnung einer
linearen Teilmenge an. Also folgt aus a über (0, x, y) der Reihe
nach: x unter (0, a, y) = (0, a + a, y), a+a über (0, x, y), ebenso
b+b nicht unter (0, x, y). Also, da (54) a + a, a + b, b + b in
dieser Ordnung einer linearen Teilmenge angehören, folgt (34 Folg. 2)
a+b über (0, x, y).
68. Satz: In einer überplanar geordneten Gruppe gibt es kein
Elemententripel (x, y, z), so daß alle andern Elemente über oder unter
(x, y, z) liegen.
Beweis: Aus a unter (x, y, z) folgt 0 unter (x', y, z), wenn
zur Abkürzung x
a = y', z a = z' gesetzt wird. Nun
folgt der Reihe nach (67):
a
-
x', y