Gruppen. 50. Geordnete Gruppen. 51-61.
Beweis: Aus x vor a folgt (52) (x-a) +x vor x.
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57. Definition: Eine linear geordnete Gruppe heißt meßbar,
wenn der Grundsatz der Meßbarkeit 58 besteht.*)
58. Grundsatz: Sind a (nach 0) und x zwei Elemente, so ist
x vor a, oder vor a+a, oder vor a+a+a, usw.**)
59. Folgerungen im planaren Fall: Aus a rechts (0, x) folgt
x links (0, a) = (— a, 0),
(-a, 0), a links (0, x). Aus a rechts (b, c) folgt
a-b rechts (0, c-b), also ba links (0, c-b), also (b-a) rechts
(0, b-c), also a rechts (-b, — c).
-
60. Satz: In einer planar geordneten Gruppe liegt a+ b + c
zwischen a + a + a, b + b + b, c + c + c.
Beweis (wenn der Kürze halber das assoziative und das kommu-
tative Gesetz vorausgesetzt und a+a=2a, a +2a 3a usw. gesetzt
wird):
Aus (z. B.) e rechts (a, b) folgt der Reihe nach erstens:
-c rechts (-a, —b),
2 a
a
b
zweitens:
—
-
с
29
(0, a—b), rechts (b-a, 0),
с
99
(0, a—b), links (0, b — a),
O rechts (ac, b−c), rechts (2a — 2c, b−c),
O links (2a-2c, c-b), links (2a-2c, 2a-c-b),
O rechts (2c-2a, 2a-b-c), rechts (c-b, 2a-b-c),
2 a b c links (0, b-c),
also:
-
2 a b c links (0, 2b-a-c),
-
O rechts (2a-b-c, 2b-a-c),
a + b + c
ebenso:
(3a, 3b),
a+b+c rechts (3b, 3c),
a + b + c
""
(3c, 3a).
61. Satz: In einer planar geordneten Gruppe folgt aus a rechts
(0,x) und b nicht links (0,x) stets a + b rechts (0,x).
Beweis: Es gehören -a, 0, a einer linearen Teilmenge in dieser
*) Eine linear geordnete, dichte, meßbare Gruppe ist kommutativ (vgl.
O. Hölder, 1. c. p. 13).
**) Das Archimedische Axiom; s. Archimedis Opera, rec. Heiberg, vol. I,
1880, p. 11.
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