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I. Grundlagen der Arithmetik.
d. h. a und b haben jedenfalls zu dem Tripel (x, y, z) der relativ
dichten Teilmenge nicht dieselbe Ordnungsbeziehung.
41. Definition: Eine überplanar geordnete Menge heißt „stetig",
wenn jedem mit 32 verträglichen System von Ordnungsbeziehungen
eines Dinges zu den Dingen einer überplanaren Teilmenge wenigstens
ein Ding der Menge entspricht.
Folgerung: Eine überplanar geordnete stetige Menge ist dicht.
Denn ist (z. B.) a über (b, c, d) und a, b, c, d Dinge einer überplanar
geordneten stetigen Menge, so existieren Dinge x, die den Ordnungs-
beziehungen genügen:
x über (b, c, d), unter (c, d, a), über (d, a, b), unter (a, b, c)
d. h. x zwischen (a, b, c, d).
Gruppen.
42. Definition: Eine Menge heißt „Gruppe" *) und ihre Dinge
heißen „Elemente", wenn folgender Grundsatz besteht:
43. Grundsatz: Je zwei Elementen a, b der Gruppe ist ein
drittes, mit a + b bezeichnetes, eindeutig zugeordnet. Das Element
a + b heißt durch „Komposition" aus a und b entstanden.**)
44. Definition: Mit 0 (Null) werden Elemente bezeichnet, für
die 0+0=0 ist. Solche Elemente brauchen nicht vorhanden zu
sein, wie das System der positiven ganzen Zahlen, mit der Addition
als Komposition, beweist; sie sollen jedoch stets auf Grund der de-
finierenden Gleichung 0 + 0 = 0 hinzugefügt werden.
45. Eine Gruppe kann „assoziativ" sein, d. h. es kann das „asso-
ziative***) Gesetz"
(a + b) + c = a + (b + c)
gelten. Daß es nicht zu gelten braucht, beweisen die „Oktaven“†),
a + a₁i + a₂j + aşk + a₁₂ij + a13ik + a23.jk + a123 (ij)k,
*) Zuerst bei É. Galois (für Gruppen von Permutationen), s. Galois, Œuvres
mathématiques publ. par É. Picard Paris 1897 S. 25.
**) Daß hier die Komposition unter dem Bilde der Addition, nicht, wie
sonst bei Gruppen üblich, unter dem der Multiplikation dargestellt wird, ist
natürlich unwesentlich. Z. B. faßt auch Gauß (Disquisitiones arithmeticae,
Werke Bd. 1, S. 273) die Komposition der Klassen quadratischer Formen als
Addition auf.
***) „Assoziativ" wahrscheinlich zuerst von Sir W. R. Hamilton eingeführt
(vgl. H. Hankel, Vorlesungen über die komplexen Zahlen und ihre Funktionen.
Teil I, Leipzig 1867, p. 3).
†) Vgl. Cayley, Phil. Mag. 26 (1845) p. 208, 211; 30 (1847) р. 257
Papers I p. 127, 301.
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