ana
Menge M heißt „relativ dicht", wenn zwischen je vier
planar geordneten Teilmenge angehörenden Dingen der L
Ding der Menge m liegt.
Folgerungen: 1) Eine relativ dichte Teilmenge ist (a
aber im allgemeinen nicht umgekehrt.
2) Eine relativ dichte Teilmenge einer überplanar geor
besteht aus mindestens fünf nicht einer planar geordnet
angehörenden Dingen, ist also (36) überplanar geordne
die Teilmenge uneigentlich, dann ist der Satz evident; is
lich und sind a, b, c, d vier, nicht einer planar geordnete
angehörende Dinge der Menge, so existieren Dinge a, f
Teilmenge, so daß & zwischen a, b, c, d; ferner a zwisch
ferner ẞ zwischen a, c, d, &; ferner y zwischen a, ß, d
zwischen α, β, c, ε liegt; so liegt y über (resp. unter) (α,
liegt dunter (resp. über) (α, β, ε), also gehören α, β, γ
planar geordneten Teilmenge an.
40. Satz: In einer überplanar geordneten Menge wi
durch seine Ordnungsbeziehungen zu je drei, mit ihm
planar geordneten Teilmenge angehörenden Dingen einer re
Teilmenge eindeutig bestimmt.
Beweis: Sind a + b zwei Dinge der Menge, so exis
relativ dichten Teilmenge zwei Dinge x, y, die mit a, b
geordneten Teilmenge angehören; denn sonst wäre, entge
gerung 2 die relativ dichte Teilmenge planar geordnet. S
dann in der relativ dichten Teilmenge ein Ding z zwisch
also ist z. B.
z unter (bxy), über (xya), also
b über (xyz), a unter (xyz);