Mengen.
1. Grundbegriffe sind erstens das „Ding", zweitens die „Menge"*),
drittens die „Zugehörigkeit" eines Dinges zu einer Menge oder einer
Menge zu einem Dinge.
2. Eine Menge wird „bestimmt" durch Angabe der ihr zuge-
hörigen Dinge; ein Ding wird „bestimmt" durch Angabe der ihm zu-
gehörigen Mengen.
3. Jede Menge ist ein Ding; jedes Ding ist eine Menge, nämlich
die Menge der dem Ding zugehörigen Mengen.
a.
SO
4. Ist also a ein Ding der Menge b, so ist bein Ding der Menge
Denn besteht die Menge b aus den Dingen a, a', a", ...,
ist sie unter allen dem Ding a zugehörigen Mengen, d. h. den Dingen
der Menge a, enthalten. (Von diesem Satze wird jedoch nicht Ge-
brauch gemacht.)
5. Definition: Eine Menge a heißt „Teilmenge"*) einer Menge a,
wenn jedes Ding der Menge a ein Ding der Menge a ist, und a heißt
„eigentliche" Teilmenge der Menge a, wenn außerdem nicht jedes Ding
der Menge a ein Ding der Menge a ist.
6. Satz: Ist a eine Teilmenge von b, b eine Teilmenge von c,
so ist a eine Teilmenge von c.
Beweis: Jedes Ding der Menge a ist ein Ding der Menge b, jedes
Ding der Menge b ein Ding der Menge c, also usw.
7. Definition: Zwei Dinge a und b heißen „gleich" (a=b, b=a),
wenn a eine Teilmenge von b und b eine Teilmenge von a ist, sonst
„ungleich" oder „verschieden“ (a + b, b + a).
8. Satz: Zwischen den drei Paaren von Dingen (a, b), (b, c), (c, a),
die man aus drei Dingen a, b, c bilden kann, können nicht zwei Gleich-
heiten und eine Ungleichheit bestehen, oder: Sind zwei Dinge einem
dritten gleich, so sind sie einander gleich.
Beweis: Ist z. B. a = b, b = c, so ist (7) a eine Teilmenge von b,
b eine Teilmenge von c, also (6) a eine Teilmenge von c. Ebenso
ist ceine Teilmenge von b, b eine Teilmenge von a, also c eine Teil-
menge von a. Also (7) a = C.
*) s. G. Cantor, Zeitschr. f. Philos. 91 (1887) S. 92 u. 95, S. 240.