§ 89. Wahrscheinlichkeiten.
191
Von der Wahrscheinlichkeit von A ist ein Vielfaches größer als
die Wahrscheinlichkeit von B; für beliebige Ereignisse A und B.
Man erkennt, daß, um dies auszusprechen, die Vergleichbarkeit und
die Addierbarkeit bestehen müssen.
Das Archimedische Axiom besteht für Wahrscheinlichkeiten meistens,
aber nicht immer. Z. B. sind die Wahrscheinlichkeit, daß eine beliebige
ganze Zahl prim ist, und die Wahrscheinlichkeit, daß sie gerade ist, nicht
miteinander meßbar; aber die erste ist meßbar mit der Wahrscheinlich-
keit, daß eine beliebige ganze Zahl das Doppelte einer Primzahl ist.
Nach Einführung der Meßbarkeit müssen wir noch eine Einheits-
wahrscheinlichkeit wählen, an der alle anderen gemessen werden können.
Als solche wählen wir die Gewißheit", d. h. die Wahrscheinlichkeit
eines Ereignisses, das gewiß ist. Dieser Wahrscheinlichkeit legen wir
willkürlich die Zahl Eins bei.
99
Betrachten wir jetzt ein Ereignis A von n gleichwahrscheinlichen
und es sei gewiß, daß von diesen n eins eintritt. Z. B. ist es gewiß, mit
einem Würfel eine der Zahlen 1 bis 6 zu werfen, und diese sechs Ereignisse
sind, wenn nichts anderes bekannt ist, gleichwahrscheinlich. Ist w die
Wahrscheinlichkeit eines dieser n Ereignisse, so ist wegen der Addierbar-
keit nw die Wahrscheinlichkeit, daß eins der n eintritt. Und da dies
die Gewißheit sein soll, so folgt nw = 1, also w =
1
n
•
Greifen wir unter den n gleichwahrscheinlichen Ereignissen i heraus,
z. B. beim Würfel die drei Ereignisse, eine gerade Anzahl zu werfen. Die
Wahrscheinlichkeit, daß eins dieser i (3) Ereignisse eintritt, ist wegen der
D. h. die Wahrscheinlichkeit
Addierbarkeit gleich i · w, also gleich().
·
dafür, daß von n gleichwahrscheinlichen Ereignissen eins aus i bestimmten
eintritt, ist gleich das Verhältnis der Zahl i der günstigen Fälle (Treffer)
i
n
9
zu der Zahl n der möglichen Fälle.
i
n
Dieses Verhältnis wird oft als die Definition die Wahrscheinlich-
keit hingestellt. Es ist so wenig die Definition derselben, wie mg die De-
finition des Gewichtes ist. Es ist vielmehr das Maß der Wahrscheinlich-
keit. Und um dies Maß aufzustellen, muß man den Begriff der Wahr-
scheinlichkeit vorher haben und die Meßbarkeit etwa wie im vorstehenden
i
n
begründen. Nachdem aber dieses Maß gewonnen ist, kann man es durch
Grenzübergänge auf Fälle ausdehnen, in denen n und nicht mehr end-
lich sind. Z. B. ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein beliebig auf dieser