§ 88. Abzählung.
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-
∞
da nach (3) die Zahl links die Anzahl der Abweichungen zwischen
n
und bedeutet, also gleich n ist. Integriert man von n bis n+4n
und von § = — ∞ bis +∞, so erhält man ebenso (3).
Integriert man über ein Rechteck von h=0 bis hx, und von
kŋ=0 bis kŋ=y, so erhält man
n · † p (x) • 1 p (y),
wobei die Funktion (t) definiert wird durch
1
(7)
-t² dt = 1 4 (t).
Υπ
(8)
Für die Funktion (t) sind Tabellen berechnet worden*).
y
Bezeichnet man die Anzahl (7), die zum Punkte II= (½
() gehört,
h k
kurz mit [xy] oder mit [I], so erhält man auch die Anzahl in einem be-
liebigen Rechteck mit den Ecken (x, y), (x, y'),
(x', y), (x', y′), nämlich
[[xy] — [x'y] + [x'y'] — [xy']\.
(9)
Allgemeiner, das Zielgebiet sei ein Polygon
III n' I'"
...9
dessen Seiten abwechselnd
der - und der 7-Achse parallel seien, dann
liegen in dem Zielgebiet (Abb. 40):
| [11] — [1']+[11″]-[""]+...|
-
(10)
Schüsse. Das ergibt sich, wenn man das Ge-
biet durch Parallelen zur -Achse (oder zur
7-Achse) in Rechtecke zerlegt und auf jedes
den Satz (9) anwendet.
7
Abb. 40.
Ein krummlinig begrenztes Gebiet kann man durch ein solches Poly-
gon beliebig gut approximieren und danach die in dasselbe fallende
Schußzahl nach (10) berechnen. Man kann ПI, П", ПV, ... auf der
Begrenzung, und von II', II"", ... erstens keinen im Äußeren, zweitens
keinen im Inneren wählen, dann erhält man durch (10) erstens eine untere,
zweitens eine obere Grenze für die gesuchte Anzahl, und damit ein Urteil
über die Genauigkeit der Annäherung. Zur Verminderung der Rechnung
wird man in Hinblick auf (7) die Punkte so wählen, daß jedes y(x¿) und
jedes (yi) möglichst oft zur Verwendung kommt. Außerdem lassen sich
Doppelintegrale wie (5):
n
#/for-raze
π
e-x²-y'dxdy, deren Integrand bloß von
*) S. z. B. Cranz, Ballistik IV (1918) S. 111.