§ 53. Die Differentialgleichung für die konische Pendelung.
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Sie ist zweitens theoretisch naturgemäß,
mäßigkeit und Genauigkeit.
da die Lösung unter dieser Annahme jedenfalls den ersten Schritt für
eine Lösung bei nicht kleinem a darstellt. Andrerseits werden einige in
früheren Arbeiten übliche vereinfachende Annahmen hier nicht gemacht,
weil sie für die mathematische Natur des Problems nicht wesentlich sind.
So wird die Beschränkung auf Flachbahnen und große Geschwindigkeiten
oder Steilbahnen und kleine Geschwindigkeiten fallen gelassen, und es
wird kein spezielles Luftwiderstandsgesetz angenommen. Das Problem
wird auf ein mathematisch sehr einfaches zurückgeführt, nämlich auf die
Differentialgleichung für gedämpfte Schwingungen. Die Koeffizienten
der betreffenden Gleichung hängen in einfacher Weise von dem Geschoß,
seiner Bewegung und dem Luftwiderstand ab und sind sogar bis auf
einen, der langsam veränderlich ist, konstant.
α
Die Beschränkung auf kleine a hat weiter den Vorteil, daß das Problem
der Rotation und das der Translation des Geschosses, sonst untrennbar
verbunden, sich getrennt lösen lassen, wenigstens im ersten Grade der
Annäherung, praktisch ziemlich weitreichend. Von den drei Koordi-
naten eines Flugbahnpunktes erweist sich infolge der Pendelung schon
im Anfangsgliede der Entwicklung nach der Zeit nur die seitliche beein-
flußt. In bezug auf diese Seitenabweichung sagt die Encyclopédie (a. a.
O. S. 70):,,La théorie de la dérivation des projectiles présente encore
des lacunes fondamentales", und Siacchi (Balistique, 1892, S. 123) sagt:
„Les difficultés analytiques que l'on rencontre dans le calcul de la déri-
vation, comparées à sa petitesse et à ses anomalies, ont fait renoncer à
la déterminer pour les applications pratiques." Der einzig beachtliche
Ansatz in dieser Richtung besteht in den Majevskischen Funktionen M
und B*) für den Grundriß der Flugbahn, die den Siacchischen Funk-
tionen J und A für den Aufriß der Flugbahn analog sind. Aber die Her-
leitung dieser Funktionen ist von Vernachlässigungen begleitet, deren
Tragweite man nicht übersieht. Wir leiten daher diese Funktionen auf
einem neuen, und zwar sehr einfachen Wege her. Dabei wird sich eine
Berichtigung derselben ergeben. Der Vergleich mit der Erfahrung liefert
uns dann eine Bestätigung.
§ 53. Die Differentialgleichung für die konische Pendelung.
Es werden folgende Bezeichnungen eingeführt:
x, y, z rechtwinklige Koordinaten, Anfangspunkt in einem be-
liebigen Bahnpunkt, der als Anfangspunkt der Bahn
genommen wird; x positiv vorwärts, y positiv rechts,
z positiv aufwärts;
*) Majevski, Lösung der Probleme des direkten und indirekten Schießens. Deutsch
von Klußmann. Berlin 1886. S. 13 u. 14.