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Siebentes Kapitel. Die zweite Klasse von Lösungen.
großen Geschwindigkeiten ñ = n zwischen 2 und 1 liegt, beträgt der Fehler
weniger als 1%. D. h. die drei ersten Formeln (3) sind bis auf einen Fehler
von höchstens 1%, die vierte bis auf einen Fehler von höchstens 2% genau.
Aber um diese Genauigkeit zu erreichen, ist selbst bei diesem rasanten
Bogen ein ziemlicher Aufwand an Rechnung nötig.
Andererseits ergeben sich rechnerische Vereinfachungen daraus, daß
man die Teilbögen als von kleiner Gesamtkrümmung ansehen kann. Dann
vereinfachst sich nämlich die dritte Siacchi-Gleichung (3) zu:
ω wo
=
1
c B
COS @m
g du
uf (u)
§ 31. Ansatz zu weiterer Verschärfung.
1
Die obigen Formeln zur Abschätzung des korrigierenden Faktors B
sind anzusehen als die Anfänge der Entwicklung desselben nach Potenzen
von H. Auf diesem Wege kann man weitergehen, um genauere Abschät-
zungen zu bekommen. Zunächst liefert der Taylorsche Satz:
f (vλ)
f (v)
= 1 + n (λ − 1) + n (λ − 1)² + n (λ − 1)³ + ...
(2
-
-
1
2
mit n =
vw'
W
v2 w"
n =
n =
'
2 w
v3 w'll
6 w
also wegen
1
1
--
-
λ
1
f (vλ)
(2
f (v) λ
Ferner wird
λ
(21)
= 1 − (2 − 1) + (λ — 1)³ — ...
= 1 + (n − 1) (2 − 1) + (n − n + 1) (λ — 1)²
·
+(n − n + n − 1) (2 — 1)3 + ...
2
-
1
-
1
2
2 = (1-2 sinom · H+H²)=1+ P₁ H + P₂H² + ...
wo P₁ = sinom, P₂ = sin²wm, P₂ = ½ sin³ wm
2
-
sinwm
die bekannten Legendreschen Polynome (s. z. B. Jahresber. d. d. Math.
Ver. X (1909) S. 367) sind.
1
B
-
Also wird = 1 + (n − 1) P₁ H + ((n − 1) P₂ + (n − n + 1) P²) H³
1
2
1
+ ((n − 1) P3 + (n − n + 1) 2 P₂ P₁ + (n − n + n − 1) P ³) H³ + …..
1
2
2
1
Das Bildungsgesetz ist deutlich, das Restglied läßt sich leicht bilden,
über die Konvergenz gilt das früher Gesagte. Statt aus dieser Entwick-
lung obere und untere Grenzen für den korrigierenden Faktor zu ermitteln,