§ 30.
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Fehlergrenzen; schärferes Verfahren.
Soll also z. B. bei einem auf- oder absteigenden Bogen mit Rücksicht
元
​ที
บ
auf die gewünschte Genauigkeit 2 sein, so muß auch 2 sein für
n
ñ
n
jedes zwischen v und λv, also muß auch ≤2 sein, demnach auch
dessen größter Wert seco。 bzw. secoº; also muß w。 bzw. |w° |≤60 Grad
sein. Bei noch steileren Bögen würde den Wert 2 überschreiten. Steilere
Bögen müßte man in Teilbögen geringerer Gesamtkrümmung w。 — w⁰
zerlegen, um die vorgeschriebene Genauigkeit erreichen zu können. Das
ist stets möglich, denn man kann den oben abgeleiteten Ausdruck
(ñ − 1) tgw。 sin (w。 — wº) bzw. (ñ — 1) tg|wº| sin (w。 — wº) bei gegebenem
ñ und wo durch Wahl von wo beliebig klein machen.
-
-
π
4
-
-
Bei Bögen mit Erhöhungen unter hängt die Genauigkeit von dem
einfacheren Ausdruck (1) sin (wow) ab, so daß die Teilung in
Bögen gegebener Genauigkeit leicht ausführbar ist. Es handle sich z. B.
um einen aufsteigenden Ast mit großen Geschwindigkeiten, für die n
konstant ist. Man teile ihn in k+h Bögen gleicher Gesamtkrümmung o,
so daß also (k + h) owo ist. Von diesen Bögen seien h als Scheitel-
bogen zusammengefaßt und sollen als ein Bogen berechnet werden. Es
sei o so klein gewählt, daß genau genug nicht nur sino= tgo =arco,
sondern auch noch tgho arch o gesetzt werden kann. Das Maß
des Fehlers ist bei jedem Teilbogen sino arco, beim Scheitelbogen
tg³ho h2o2. Größte Genauigkeit erreicht man, wenn alle
=
=
Bögen die gleiche haben. Das ergibt oh o², also 0 =
·
2
h2
Die Genauigkeit des ganzen Bogens ist gleich der jedes ein-
zelnen multipliziert mit der Quadratwurzel aus ihrer Anzahl, die in
diesem Falle k +1 beträgt. Sie ist also gleich k +1 o. Demnach er-
gibt sich die Aufgabe: die Zahlen k und h so zu bestimmen, daß erstens
2
(k + h) =w。 und daß zweitens k+1 ein Minimum wird. Setzt
h2
2
h2
man aus der ersten Bedingung kw.h2-h in die zweite ein, so ist
wh²-h+1
zu einem Minimum zu machen. Das gibt differentiiert
h¹
-
-3
- 2020 h − 3 + 3 h − 4 — 4 h−5 — 0, also h = 2 k +4. So ist also die Bogen-
- −3+3 −4.
-
=
teilung zu wählen. Dasselbe gilt für einen absteigenden Ast mit w⁰ > — — π.
-
50
Es sei z. B. w。 = 5º, k = 8, h = 20, o =
Das Maß des Fehlers
28
50
1
wird (n
-
1). 3
•
-
arc < (n − 1) arc 32′ < (ñ − 1)
28
also, da bei
100
9
Vahlen, Ballistik.
6.