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Sechstes Kapitel. Die erste Klasse von Lösungen.
π
während von 0 biswächst, das Integral
(1)
01
W
n
dw
cos n+1w
= n
d tgw
cos"-1w
tgn-1wd tgw
wd tgw=tg"w
jeden Wert zwischen 0 und ∞ an.
-
∞
zwischen 0 und liegt, wird für w = w. zwar 0, aber
π
2
Da w
von erster Ordnung, denn o'
Ist nun
=-
∞
nur
n sec"+¹w bleibt von 0 verschieden.
•
x. tgw-∞
----
=
die Gleichung der Anfangstangente oder -asymptote, so ergibt sich aus (4)
w
x2 (tgwtgw) d tgw
n 2
g.t_∞
=
818
xd tgw
n
Ve
9.p
wo
wo
beides endlich, wenn n> 1 ist, denn der Integrand wird dann an der
oberen Grenze unendlich von einer Ordnung, die nach dem eben Gesagten
gleich
2
n
1
-
1 bzw.
9
n
also in beiden Integralen kleiner als 1 ist. Ebenso ergibt sich, daß x_∞∞,
∞ sind, wenn n≤2 ist, da die betr. Integranden an der oberen
2
2100
= -
Grenze von der Ordnung unendlich werden. Dagegen bleiben
%100
----
n
endlich, wenn n > 2 ist.
und
Also gibt es für n ≤2 eine Asymptote, für n > 2 eine Anfangstan-
gente des aufsteigenden Astes. Zum Berührungspunkt gehört in beiden
Fällen eine endliche Zeit bei n > 1; sonst eine unendliche. (Vgl. S. 49.)
Die Formeln (4) sind natürlich etwas einfacher direkt herzuleiten
(siehe z. B. des Verfassers Beiträge zur Ballistik I). Die Formeln für x
und z gab im wesentlichen schon Joh. Bernoulli (Opera II, S. 393 u. 513);
er erwähnt, daß der Fall n = 2 ebenso von Hermann und Patavini
gelöst ist. Von dieser Lösung Bernoullis muß man den Anfang der
Ballistik (Lehre vom Schuß im widerstehenden Mittel) datieren.
§ 23. Der allgemeine Fall.
Nach dieser Behandlung des Bernoullischen Falles kehren wir zu
dem allgemeinen Fall zurück, nehmen also an, daß die Hauptgleichung
integriert ist, und setzen, wie oben, die Beziehung zwischen v und win
die Form v = G-1 (sin∞), wo mit G-1 die zu G inverse Funktion be-
zeichnet ist.