48 Fünftes Kapitel. Allg. Flugbahneigenschaften. Grenzbahnen. Potenzreihen.
wenn mit vm Mittelwerte bezeichnet werden. Da diese wegen (9) endlich
sind, folgt, daß x endlich bleibt, während z∞ uud to unendlich werden.
11. Der Krümmungsradius hat einen kleinsten Wert an einer Stelle,
die zwischen dem Gipfel und der Stelle kleinster Geschwindigkeit liegt.
Auf dem aufsteigenden Aste nimmt ab, coso wächst, also nimmt
୧
=
v2
ab; auf dem absteigenden Aste, vom Punkte kleinster Ge-
g cos w
schwindigkeit ab, wächst v, cosa nimmt ab, also wächst q. Also liegt
das Minimum von g auf dem angegebenen Bogen. Differentiiert man
= d
v2
g cos w
nach w, so kommt
do
2 v
dv
v2 sin w
=
+
g cos² w
dw g cosa dw
setzt man darin aus der Hauptgleichung
ein, so wird
do
=
2v
dv
vw
=
+v tgw
do
g cos w
(2w+3 g sino).
dw g² cos 2 w
Also ist an der Stelle größter Krümmung 2w+3 g sina
=0.
Die beiden Bedingungen für die Stelle kleinster Geschwindigkeit und
für die Stelle größter Krümmung fallen zusammen, nur wenn @= 0
und w=0 ist, d. h. im Gipfel der widerstandsfreien Schußbahn, und
beim Schuß senkrecht aufwärts.
Heißt Pk der Punkt, wo 1+k sino0 ist, so liegt Pk vor Phi
g
w
wenn k> h>1 ist; denn sinw| nimmt ab, w wächst vom Punkt P₁
kleinster Geschwindigkeit rückwärts bis zum Gipfel.
Stellen extremer Krümmung heißen in der Differentialgeometrie
,,Scheitel".
Da das Minimum von v auf dem absteigenden Aste liegt, wächst v
auf dem virtuellen Teile mit abnehmender Zeit. Die zu v∞ gehörigen
Elemente ergeben sich aus (3) (§ 12) S. 35.
t-∞=
vo
dv
w+g sino
9
vdv
w+g sina
tg
π
ω
+
4 2
ய
wo
=
vo
g dv
v (w+g sina)