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Viertes Kapitel. Ausnahme- und Grenzfälle.
ist w<g, so sind diese Integrale zu berechnen und ergeben den Punkt
und die zugehörige Zeit, von wo ab das Geschoß fallen müßte, um nach der
Zeit t und der Fallhöhe 8 die gegebene Anfangsgeschwindigkeit v。 zu
erreichen. Ist aber w>g, so ist kein Gipfel vorhanden, denn mit abneh-
mender Zeit wächst v, kann also nicht gegen 0 abnehmen.
§ 13. Die beiden Integrationsansätze und ihre Grenzfälle.
Zwei Integrationsansätze.
Nimmt man tgw als unabhängige Veränderliche, so liefert die
zweite Gleichung (2) (S. 25) für vi cosa:
g dt = - xd tgw
und daraus gdx = x²d tgw
g dzx tgo d tgw
•
=-
gt Jid tgw
Jx²d tg w
gx =
-
(5)
ds
g =
--
*² seco d tgw
gs
——
tgwd tgw
Jx² secwd tgw.
gz=-
Diese Formeln geben eine Lösung, wenn man als Funktion von tgo
ausdrücken kann; das hätte durch Integration der Hauptgleichung (2)
zu erfolgen. Da die zweite Gleichung (2) (S. 25) stets gilt, wenn außer
der Schwerkraft nur tangentiale Kräfte wirken, gilt dasselbe für die Glei-
chungen (5). Insbesondere gelten sie also auch im leeren, d. h. widerstands-
freien Raum. In diesem vereinfachen sie sich dadurch, daß konstant
gleich ist, wie aus (1) (S. 25) für w=0 folgt.
Nimmt man zweitens als unabhängige Veränderliche, so muß man
zu den identischen Gleichungen
di
dt
x
xdx
dx
dx
t=
x
xdi
x=
(6)
*
aus (5) hinzunehmend tge=-
gdx
gdr
tgos - tgo
x dx
also noch da tgo。 – dz
gdx
•
•
x tgwo
x
Xxx
gdż żdż
x
Damit diese Formeln eine Lösung liefern, muß man durch ż aus-
drücken. Auch das erfolgt durch die Hauptgleichung. Kennt man nämlich
die Beziehung zwischen tgo und , dann kann man auch durch ở
gdz
ausdrücken vermittelst der Gleichung d tgw=- und umgekehrt,
XX
kann man durch & ausdrücken, dann wird durch diese Gleichung, in der
die Variablen getrennt sind, auch tgo durch & ausgedrückt.