§ 11. Numerisch-graphische Lösungen.
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wl = F (v, w) der Reihe nach:
@l
=
OF
av
+F. =DF
aF
θω
OF
F' =
aw
w = D²F+F' DF,
•
wIV = D8F+F' D²F+F2 DF +3 DF DF
wV = D¹F + F' · D³F + F' 2 · D² F + F¹³ · DF
•
•
•
•
•
+4DF' D2F +6 DF D2F7F DFDF+F" DFDF.
Der Anwendung dieser Formeln gegenüber bedeuten die Formeln von
Runge und Kutta bei gleichem Grade der Annäherung eine bedeutende
Rechnungsersparnis.
Eine andere Rungesche Methode wenden Cranz und Rothe auf die
Hauptgleichung dv = F (w, v) dw an*). Sie besteht kurz in folgendem.
Man bedecke die (vw)-Ebene mit einem System von ,,Isoklinen"
F (w, v) = C¿.
dv
Ci schneidet.
(i=0, 1, 2, ...)
Die von dem Anfang wo, vo ausgehende Integralkurve ist so zu ziehen,
daß sie die i-te Isokline mit einer Tangentenrichtung
Eine so gewonnene Anfangslösung v₁ (w) wird durch iterierte Quadraturen
verbessert nach:
01
dw
=
dv₂
=
F(w, v₁(w)),
V2 - Vo
=
F
(w, v₂ (w)) dw,
usw.
dw
wo
Das Verfahren ist umständlich, aber genau. Für die Herstellung des Iso-
klinensystems kommt es zustatten, daß man die Hauptgleichung ver-
mittelst
dv = eu du
v=
eu,
dw
=
=d3, 3 = 1tg(44 + 2)
π
COS W
sino = tg hyp3,
transformieren kann auf
du
ძვ
=tg hyp3+= f(e").
g
V-N
TU
Man kann die Integration der Hauptgleichung
durch folgenden Mechanismus ausführen. O'O'
liege in der Zeichenebene fest, O'O' A' A", o
A'A" P'P" seien zwei Gelenkparallelogramme,
durch die P'P" in erforderlichem Umfange an
jede Stelle der Ebene zu bringen ist (Abb. 12). Mit
O'A' starr verbunden ist eine ebene Kurve, die O'P' immer so in einem Punkte
T schneidet, daß O'T = v · w, TP' w ist, wenn O'P' =
-
=
*) Artilleristische Monatshefte 1917, S. 197.
Vahlen, Ballistik.
Abb. 12.
=v ist. Macht
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