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Drittes Kapitel. Grundlegung und elementare Methoden.
von denen bekanntlich die erste*) eine Approximation eines Flächenstückes
durch ein Tangententrapez T, die zweite **) durch ein Sehnentrapez S
bedeutet. Letztere liegt auch dem obigen aus den Gleichungen (6) gefol-
gerten Verfahren zugrunde.
Das Mittel
} S + z T =
F(v) + 4F (v + ½ 4 v) + F (v +4v)
6
Δυ,
die Simpsonsche Regel ***) approximiert den Flächeninhalt bis zu den
Gliedern dritter Ordnung in 4v einschließlich.
Entsprechend setzt Runge erstens
und zweitens
4,w=F (v + ½ 4v, w + ½ F (v, w) · sv) · Av
Δω
=
F (v, w) + F (v + 4 v, w + F (v, w) ≤v)
2
Δυ.
Aber aus diesen beiden ist kein Mittel zu bilden, das bis auf Glieder dritter
Ordnung richtig wäre. Vielmehr ist das zweite zu ersetzen durch
40w
F (v, w)+F(v+sv, w+F (v+sv, w+F (v, w) 4v) 4v)
dann gibt das Mittel
2
1400 + 1 4100
den gewünschten Grad der Annäherung.
Eine Annäherung vierter Ordnung gibt die Formel von Kutta:
4ow = F (v, w) Av
4₁w = F(v + 4v, w + ½ 40w) Av
42w = F (v + ½ 4v, w+½½ 4,w) Av
43w = F (v + 4v, w +42w) Av
Δω=
40+241 +242 + 43
6
Δυ;
Für die Anwendung dieser Formeln ist zu berücksichtigen, daß die
Funktion F zwar für jeden Wert von w, aber nur für die Tabellenwerte von v
gegeben ist; danach sind die Argumente v, v + § 4v, v + sv zu wählen.
Will man w wo nach Potenzen von v vo in die Taylorsche Reihe
entwickeln :
―
ww。=w' · (v — v。) + 4w" (v — vo)² + f w" (v — vo)³ + ...,
so erhält man aus
*) Mac-Laurin, Treatise of fluxions 2, Edinbourg 1742, Kap. IV, S. 632.
**) Trapez-Regel von Borda oder Bézout.
***) Mathematical dissertations
...9
London 1743, S. 109.