§ 11. Numerisch-graphische Lösungen.
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Nach Cauchy nimmt man statt dessen
(3)
Aw= F(v, w) Av, d. h. man berechnet w₁,
aus den gegebenen vo, wo und dem gegebenen Zuwachs 400₁-wo
vermittest
w₁ w。 = F(v。, wo) · (v1 — vo).
W1
=
Dieses einfachste Verfahren kann nützlich sein, man muß aber aus
der besonderen Beschaffenheit der Funktion F (v, w) möglichsten Nutzen
ziehen. Das geschieht im vorliegenden Falle, indem man die Gleichung
in die Form setzt:
g·d (v cos∞) = w⋅ v・dw
oder:
d (v cosw)-n
=
w
g.vn
de, 2
δω
Cosn+1 ω
(1)
Dabei wählt man n so, daß nahezu konstant bleibt. Für die Funktion
w
vn
sind für die in Betracht kommenden Werte von n Tabellen vorhanden.
Den Schritt von (v。, w。) zu (v₁, w₁) macht man also so:
-n
(v₁ cosw₁)¯n — (v。 cosw。)—n
we
•
g von
· (°z — ¹x) ·
Der Vorteil besteht darin, daß man das Intervall w₁wo wegen der
-
@o
geringen Veränderlichkeit von verhältnismäßig groß wählen kann.
w
vn
Für den Fall wav" ist die Gleichung damit genau integriert. Man
braucht sie nicht erst in die Form einer Bernoullischen Gleichung zu
bringen *):
und vermittelst vn
=
dv
1
И
dw
=
vn +
1
+
sino · v).
COS W
in eine lineare zu transformieren, wie dies im allge-
meinen Fall einer Bernoullischen Gleichung nötig ist. Auch wenn man
w durch eine lineare Funktion von lv approximiert, kommt man auf eine
lineare Differentialgleichung, die in bekannter Weise zu integrieren ist.
Zur Verbesserung des Eulerschen Ansatzes (3) wenden wir ihn zunächst
auf den Fall an, daß F (v, w) = F(v) ist, also von w nicht abhängt. Die
Näherung
ist dann zu ersetzen durch die besseren:
Δω
Aw= F(v) Av
F(v)+F(v+4v)
10,
2
4w=F (v + 4v) · Av, Δω =
*) Vgl. Encycl. d. math. Wiss. II, 1. 1, S. 237.