§ 11. Numerisch-graphische Lösungen.
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§ 11. Numerisch-graphische Lösungen.
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Das Hauptproblem der Ballistik: die Ermittelung der Flugbahn aus
den gegebenen Anfangselementen vo, wo, wo kann zunächst in der Weise
gelöst werden, daß man zu einem Bahnelement zur Zeit t das Bahnelement
zur Zeit t+4t findet. Unter Bahnelement ist zu verstehen ein Bahn-
punkt und die Geschwindigkeit nach Größe und Richtung in ihm. Die
erste Lösung dieser Art stammt von Poncelet*) und knüpft am besten
an die Gleichungen (3) an. Die zweite dieser Gleichungen liefert den Krüm-
mungsradius o an der gegebenen Stelle und damit, da die Tangente an der
Stelle gegeben ist, den Krümmungskreis. Trägt man auf diesem von dem
gegebenen Punkte das kleine Bogenelement 48v 4t ab, so hat
man damit annähernd den gesuchten Punkt zur Zeit t+4t. Die Ge-
schwindigkeit in diesem findet man aus der ersten Gleichung (3), die den
Geschwindigkeitszuwachs v liefert. Ob man eine solche Lösung nume-
risch oder, wie Poncelet, graphisch durchführt, ist unwesentlich und
hängt von den Zwecken und dem gewünschten Genauigkeitsgrade ab.
Bedeutend einfacher als die Ponceletsche ist
die folgende Lösung, die sich aus den Glei-
chungen (6) ergibt**). Man nehme 4t zur
Zeiteinheit. Es sei P der Bahnpunkt zur Zeit
t, PQ die Geschwindigkeit in ihm nach Größe
und Richtung, ferner QRw die Verzögerung, RS=g. Dann ist
nach der zweiten Gleichung (6) QS die Gesamtbeschleunigung im Zeit-
teil 4t und PS die Geschwindigkeit zur Zeit t+4t nach Größe und
Richtung. Schließlich ist die Mitte P₁ von QS nach der ersten Gleichung
(6) der Bahnpunkt zur Zeit t +4t.
S
Abb. 10.
Da durch 2 Punkte P, P₁ und die
Tangenten in ihnen eine Parabel be-
stimmt ist, kann man die punktweise
konstruierte Bahn durch
durch Parabel-
bögen ausfüllen. Ebenso liefert das
Gleichungssystem (9) z. B. die folgende
Lösung (Abb. 11): Es sei PQ = ro,
QS'=7, S'S" 70, dann ist QS"₁, ferner sei S'S =
dann ist PS₁, und die Mitte von QS ist der neue Bahnpunkt P₁ usw.
Die Genauigkeit solcher Lösungen ist danach zu beurteilen, wieviel
Glieder der Taylorschen Entwicklung sie richtig wiedergeben.
=
P
Abb. 11.
S'S",
Die Konstruktionen von Indra (Graphische Ballistik, Wien 1876),
Rothe (Artill. Monatshefte 1911, 1915), Narath (ebenda) beruhen auf
*) Leçons de mécanique industrielle, Metz 1828/29, II, § 55.
**) Vahlen, Artilleristische Monatshefte 1918, S. 145.