Art. 124-126.
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eines Polygons uneigentliche Eckpunkte und Kongruenzen zwischen
z. T. uneigentlichen Dreiecken auftreten können.
Diese Schwierigkeit ist entweder nach 39 ff. zu beseitigen oder
durch diejenige Wendung des Gedankens zu vermeiden, durch welche
im folgenden die Begründung der Lehre vom Rauminhalt gelingt.
Rauminhalt.
125. Die Hilbertsche Definition der Inhaltsgleichheit von Poly-
gonen läßt sich nicht in analoger Weise auf den Inhalt von Polyedern
ausdehnen, da Dehn*) und Kagan **) gezeigt haben, daß raumgleiche
Polyeder existieren, die nicht aus denselben Teilpolyedern additiv und
subtraktiv zusammensetzbar sind. Hilbert ist der Ansicht, damit sei
„die Unmöglichkeit dargetan, die Lehre von den räumlichen Inhalten
so zu begründen, wie dies im vorstehenden für die ebenen Inhalte
schehen ist. Hiernach wären zur Behandlung der analogen Fragen
für den Raum andere Hilfsmittel, etwa das Cavalierische Prinzip
heranzuziehen“ ***)
ge-
Daß dies nicht notwendig ist, soll im folgenden gezeigt werden.
126. Es genügt, die folgenden Definitionen zugrunde zu legen:
Definition: 1) Ein Polyeder P heißt „kleiner" als ein
Polyeder (P <Q, Q> P), wenn P und Q resp. aus den-
selben Teilpolyedern wie P' und Q' zusammengesetzt sind
und P' ganz innerhalb Q' liegt.
2) Zwei Polyeder P, Q heißen „gleich“ (P = Q, Q = P),
wenn weder P< Q noch P>Q ist. †)
Gegen die Zulässigkeit dieser Definitionen kann nicht eingewendet
werden, daß man danach im allgemeinen die Gleichheit zweier Polyeder
nicht durch eine endliche Anzahl von Operationen feststellen kann;
vielmehr würden sie nur dann unzulässig sein, wenn gleichzeitig P>Q
und PQ sein könnte. Dies ist durch Einführung eines Inhalts-
maßes I(P) für jedes Polyeder P zu widerlegen, welches stets positiv
Gött. Nachr. 1900, Math. Ann. 55 (1902) p. 465.
**) Math. Ann. 57 (1903) p. 421.
***) Grundlagen d. Geom., 2. Aufl. (1903) p. 47.
†) Die Definition der Polyedergleichheit kann auch so formuliert werden:
Zwei Polyeder heißen gleich, wenn sie in bezug auf je zwei endlich-gleiche
Polyeder in derselben Beziehung des größer oder kleiner stehen. Diese Definition
ist dann analog derjenigen der Gleichheit zweier Irrationalzahlen: zwei Irrational-
zahlen heißen gleich, wenn sie zu jeder Rationalzahl in derselben Beziehung
des größer oder kleiner stehen. Demnach könnte man endlich-gleiche Polyeder
als,,rational-gleich", gleiche, nicht-endlich-gleiche Polyeder als ,,irrational-
gleich" bezeichnen.