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V. Metrische Geometrie.
zusetzen aus einer Schiebung und einer Drehung und eventuell einer
Spiegelung. Ordnet man dem Punkte (xo, x1, x2) den Vektor
x = xo + x ₁ ² 1 + xq i q
zu, so wird eine Schiebung durch eine Transformation y = x + u
repräsentiert, wo u = u₂ + u₁₁+ugi, ein Vektor ist.
112. Durch die Transformation
in welcher
a =
α + α₁₁ + α₂ i½ + α12i1i2
ao а₁₁₁ — α₂i½ + α12 12
konjugierte Quaternionen, ao, a, a, a₁2 Verhältnisse sind, wird eine
Drehung um den Punkt O repräsentiert. Denn gehen die Punkte P(x。≈≈2) †
P(₁₁₂) dabei über in (YoY₁₂), (Joÿ₁ÿ₂), so bleibt das Quadrat
der Strecke PP, also diese selbst ungeändert; es wird nämlich:
α
=
-1
y = axa' - ¹,
-1
1
(y-ÿ) (y' — ÿ') = (a xa' — ¹ — añ a' -¹) (a' x'a¯¹ — a' x'a¯¹)
-
— a (x − x) a' − ¹ . a' (x' — x') a¯¹
-
-
— a (x − x) (x' — x′) a¯¹
-
(x − x) (x' — x').
=
Daß jede Drehung um O durch y = axa-1 repräsentiert wird, be-
weist man wie in 91. Die Quaternion a= a + a₁₁ + Aşiş + α₁₁₁₁,
i2
Repräsentant der Drehung y = axa-1, kommt nur bis auf einen
Verhältnisfaktor in Betracht; derselbe kann so gewählt werden,
daß a² + a₁² + a2+ a₁₂² = 1 ist. Eine solche Quaternion heißt ein
ɑ12²
Versor. Die Zusammensetzung der Quaternionen oder der Versoren,
also auch der Drehungen ist assoziativ, aber nicht kommutativ; die
Versoren oder Drehungen bilden eine Gruppe.
2
113. Eine Drehung, die zweimal angewandt die Identität ergibt,
heißt eine „Umwendung". In den zugehörigen Versoren ist a 0.
Eine Umwendung wird durch ihre Umwendachse" A völlig reprä-
sentiert. Die aus zwei Umwendungen um Achsen A, B von O zu-
sammgesetzte Bewegung ist eine Drehung um 0. Die Achsen A, B
gehen in Gerade A', B' der Ebene (AB) über, die also die feste
Ebene dieser Drehung ist, und der Winkel AA' = 2AB = BB' ist
mithin der Drehungswinkel. Diese Drehung kann als Quotient der
Umwendungen um A und B, als aufgefaßt werden. Zwei gegebene
A
B
B
C
""
=
A
Drehungen kann man als und darstellen, indem man für B die
B