288
V. Metrische Geometrie.
108. Satz: Ist ABC ein bei A rechtwinkliges Dreieck und e
eine beliebige Strecke, so ist*)
A
B
B₁
C
A,
2 BD BC
Beweis: Ist [AD] [BC], so ist ABD~CAB, ACD~BCA,
BD BA CD
also
BA BC' CA
CA\2 CD CB
also (101 Folg.) (4)²
BC
e
e
e
e
109. Definition: Durch einen eigentlichen Punkt O lege man
drei Gerade [OE₁], [OE₂], [OE], die in keiner Ebene liegen. Durch
einen eigentlichen Punkt P ziehe man [PP] [OE₁], [PP₂]|[OE],
[PP,]|[PE。], so daß P1, P2, P3 in resp. {OE, E;}, {OE,E₁},
(OEE) liegen. Als Koordinaten von P werden definiert die Ver-
hältnisse x
PP
PP
OE'
, y
mit den Vorzeichen + resp.
OE,' OE'
-genommen, je nachdem (z. B.) P und E, auf derselben resp. auf
verschiedenen Seiten von {OE, E} liegen.
1
Einer nicht durch O gehenden Ebene (ABC), welche [OE],
OE,
[OE,], [OE] resp. in A, B, C trifft, werden die Koordinaten OA
OE OE 1 beigelegt; ist sie parallel z. B. zu [OE], so wird statt
CA
CB'
-
AB 2
also (4.5)² + (4.0)*
"
e
P.P
2
B
2
AB 2
AC\2
2
(47) + (49)' - (0)
·
-
=
D
-
e
e
(BD + CD) = (BC)².
:
e
e
"
OB' OC'
OE, Null gesetzt. Eine durch O gehende zu (ABC) parallele Ebene
ОА
OE, OE OE
bekommt die Koordinaten
0.
OA' OB' OC'
110. Satz: Liegt der Punkt (x, y, z) in der Ebene {a, b, c, d},
so besteht die Gleichung
ax+by+cz = d.
Beweis: Geht die Ebene zunächst nicht durch O, ist also d = 1,
und ist sie keiner der Achsen parallel, so sei
*) Der Satz des Pythagoras, aber als Beziehung nicht zwischen Flächen,
sondern zwischen Strecken-Verhältnissen.