Art. 95-100.
285
heit der Grenzpunkte im Raume verhält sich wie eine Ebene, in der
Ebene wie eine Gerade.
a
97. Definition: Ein Paar Strecken a, b heißt ein „Verhältnis"
Verhältnisse gleicher Strecken heißen gleich. Demnach kann jedes
b ;
Verhältnis durch drei Punkte (OAB) einer Geraden repräsen-
tiert werden, wo OA a, OB = b, 0 nicht zwischen AB ist. Ist
OA₁ OA auf derselben Geraden, also O zwischen A₁, B, so heißt
das Verhältnis (0A,B) das negative des Verhältnisses (OAB);
(0A,B)= -(OAB). Zwei Verhältnisse heißen gleich, wenn sie
resp. gleich (OAB) und (OA'B') sind und [AA'] | [BB'] ist. Die
zwei Definitionen für Gleichheit von Verhältnissen sind zulässig, denn
es besteht der Satz*):
98. Satz: Sind zwei Verhältnisse einem dritten gleich, so sind
sie unter sich gleich.
-
a
b
=-
Beweis: Ist (OAB) = (0A'B'), (0A'B') = (0A"B"), so ist
entweder A = A', B = B', also (OAB)=(0A″B"]. Oder es ist
[AA']||[BB'], oder es ist OA OA', OB = OB'; sind dann M,
N die Mittelpunkte von A′A”, B'B', so sind [AA']\[MN]\[BB'],
also auch [AA]||[BB']; also nach dem Desarguesschen Satze auch
[AA″]||[BB″], d. h. (OAB) = (0A″ B″).
-
--
Trägt man alle Verhältnisse an einen andern Punkt O′ statt O
an, so folgt der Satz aus der Kongruenz der Figuren bei und
bei O'.
=
99. Satz: Ein gegebenes Verhältnis ist immer einem Verhält-
nis (OAB) mit gegebenen O, A oder mit gegebenen 0, B gleich
und der Punkt B resp. A dadurch eindeutig bestimmt.
Beweis: Das Verhältnis sei gleich (OA'B') und [B'B]||[A'A],
B auf [04]; also (OAB) = (0A′ B′).
(OA'B'). B ist eindeutig bestimmt;
denn wäre (OAB) (0ÁB₁),
(OAB), so müßte wegen OA=0A₁ auch
OB OB₁, B = B₁ sein.
100. Definition: Die Summe zweier Verhältnisse wird definiert
durch
=
*) Die folgende Theorie der Verhältnisse enthält die Euklidische Propor-
tionenlehre (Euclidis Elementa ed. Heiberg, lib. V) in sich, die also hier ohne
Voraussetzung der Meßbarkeit begründet wird. Derartige Begründungen finden
sich neuerdings bei Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Kap. III, Kneser,
Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft, Dez. 1901 p. 4 im
Archiv der Math. und Phys. (3) 2 (1902), Mollerup, Math. Ann. 56 (1903) p. 277
und Studier over den plane geometrics aksiomer (Kopenhagen 1903), Schur, Math.
Ann. 57 (1903) p. 205; vgl. auch Kupffer, Sitzungsber. der Naturforscherges. zu
Dorpat 1893; Kneser, Math. Ann. 58 (1904) p. 583.