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V. Metrische Geometrie.
Im Falle j² =
±b
ist. Demnach repräsentiert im Falle 21 jede Biquaternion
a + ɛb, im Falle ²+1 jede außer den singulären a (1±ɛ) eine
Bewegung.
-
=-
95. Im Falle j² = +1 sind stets uneigentliche Elemente vor-
handen, unabhängig davon, ob Meßbarkeit besteht oder nicht. Be-
steht Meßbarkeit, so ist also die Dreieckswinkelsumme kleiner als
zwei Rechte. Besteht nicht Meßbarkeit, so beschränke man sich zu-
nächst auf ein Teilgebiet, in dem Meßbarkeit besteht; in diesem ist
die Dreieckswinkelsumme kleiner als zwei Rechte, folglich auch all-
gemein.
=
a
a
=
1 liefert z. B. die Quaternion
α
2
α
r cos + sin
2 &
2
=
die Kongruenz yo+₁₁
auf der Geraden x₂ = 0, x
X1
X 0
Setzt man
tg§, (0≤§<л) und nennt έ das Argument
des Punktes (xo, x1, 0, 1), so entspricht dem Antragen einer Strecke
an einen Punkt die Vermehrung des Arguments um eine Größe
a; denn es wird:.
(cosa
=
1.
i sin a) (X。 +¿₁x₁), (Yç
2
Yo + i₁Y₁ = √x² + x (cos (+α) + i sin (§ + α)).
=
X3 = 1)
=
Besteht also Meßbarkeit, d. h. existiert bei gegebenem , a stets
eine ganze Zahl k so, daß ka> ist, so existiert auf der Geraden
X2 0, x = 1, also überhaupt, kein uneigentlicher Punkt, da alle
Punkte Argumente < haben, also durch Abtragen einer Strecke
mit irgend einem Argument a stets erreicht werden können. Infolge-
dessen ist in diesem Falle stets die Winkelsumme größer als zwei
Rechte.
Koordinaten, Euklidisch.
96. Im folgenden wird die Winkelsumme des Dreiecks gleich zwei
Rechten vorausgesetzt. Parallel sind zwei Gerade einer Ebene,
die auf einer dritten senkrecht (1) stehen. Durch einen Punkt gibt
es zu einer Geraden zwar genau eine Parallele, aber eventuell,
nämlich wenn keine Meßbarkeit besteht, mehrere die Gerade & nicht
schneidende Gerade derselben Ebene. Alle Parallele einer Geraden
gehen durch denselben Punkt, den Grenzpunkt der Geraden; derselbe
ist Grenzpunkt auf jeder durch ihn gehenden Geraden. Die Gesamt-