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V. Metrische Geometrie.
In dieser Kongruenz entspricht dem Punkte (x=0, x₁ = 0, x = 0)
der beliebige Punkt (u。, u₁, U2, ug); dieselbe kann als Schiebung be-
zeichnet werden.
93. Aus einer Schiebung, einer Drehung und eventuell einer
Spiegelung läßt sich offenbar jede Kongruenz zusammensetzen. Dem-
nach sind in
mation*):
oder
y
alle automorphen Transformationen von
j²
---
Y
y
=
=
a
also alle Kongruenzen enthalten. Die bloß aus Schiebungen und
Drehungen zusammengesetzten Kongruenzen sollen Bewegungen heißen;
die anderen Symmetrien.
94. Setzt man au
+ x + u
1+j'u'x
= a
xx'
2
b, also a'u'b', so kann die Transfor-
=
ax + b
jab'x
'x + α '
zusammengesetzten Transformation
x + u
joux +1
=
ax + b
Y jab' x + a'
durch die „Biquaternion“ a + bj repräsentiert werden, für welche
noch i̟j+ji̟ = i2j + ji2 =0 festgesetzt wird. Der aus zwei Trans-
formationen
=
ά
2
-1
-
a'-1
cy + d
jady+c
Ax+B
j² B′ x + A′
entspricht das Produkt der zugehörigen Biquaternionen:
A + Bj = (c+dj) (a+bj).
== -
Eine Biquaternion a + bj heißt elliptisch im Falle j² -
bolisch im Falle j² = 1, (parabolisch im Falle j² = 0).
Aber nicht jede Biquaternion
(α + i₁ α₁ + iş α₂ + i₁ ¿½ α12) + (b + ¿½ b₁ + ¿½ b½ + ¿¡ ¿½b12)j
repräsentiert eine Kongruenz, sondern nur diejenigen, für welche
1, hyper-
*) Vgl. hier und im folgenden des Verfassers Aufsätze: Über komplexe
Zahlen in mehr Dimensionen (Königsberger Physikalisch- ökonomische Gesell-
schaft 1898). Über Bewegungen und komplexe Zahlen (Math. Ann. 55, 1902, p. 585).