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V. Metrische Geometrie.
genügen.
¿² + 1
Die Transformation
2
i+1=
•
=
xo ||
X1
X2 ||
-
— α₁ Yo + α oу ₁
x
-
X3
=
g
ist offenbar eine Kongruenz. In derselben entspricht jeder Punkt der
Ebene 0 sich selbst. Ist also PQ das von einem beliebigen
Punkte auf diese Ebene gefällte Lot, so entspricht Q sich selbst, also
P einem Punkte P', so daß P'Q = PQ und senkrecht zur Ebene
30 ist. Diese Kongruenz ist also eine Spiegelung an dieser Ebene.
X3
Sie kann auch durch
-
-
а oу o + α₁y ₁ + α 2 Y2
+ a12Y2
-
―――
- α₂ Yo — α 12 Y 1 + αo Y2
X3
-
repräsentiert werden.
91. Eine Kongruenz, in welcher der Punkt Ag(x=0, x₁ =0,
x = 0) sich selbst entspricht, werde bestimmt durch Angabe zweier
sich in ihr entsprechenden Halbgeradenpaare G, H und G', H' von A.
Die Ebenen, in bezug auf welche & und G', resp. H und 5' Spiegel-
bilder voneinander sind, mögen sich in einer Geraden A schneiden.
Ordnet man jeder Halbebene E von A eine Halbebene E' von A so
zu, daß der Winkel EE' dem Winkel der Ebenen {G}, {G'A}
gleich ist, und jeder Halbgeraden von E eine Halbgerade 'von
E, so daß der Winkel A dem Winkel 'A gleich ist, und jedem
Punkte P von einen Punkt P' von ', so daß A, PA, P' ist,
so wird dadurch eine Kongruenz bestimmt, in welcher G, resp.
G', entsprechen. Aus dieser Kongruenz erhält man eine zweite
solche durch Spiegelung an der Ebene (''). Von dieser Spiege-
lung abgesehen ist diese Kongruenz also eine Drehung um die Ge-
rade als Achse. Sind
² 1 ² 2 + i₂ i₁ = 0
A₁ X 1 + A z X q
Хо
X1
X2
=
A1 Xoα12X2
Aq Xo +α12X1
die Gleichungen dieser Geraden, so wird jede Drehung um A durch
eine Transformation dieser Form:
=
XC
=
-
=
0
0
=
0
-
а o x o а ₁ x 1 — A 2 X 2
-
а₁ xo + α o x ₁A 12 X2
a
agyoα1991 + α o Y 2
Yo