276
V. Metrische Geometrie.
Im zweiten und dritten Fall gibt es Punkte, die in ihren Polarebenen
liegen, da die Gleichungen:
2
2
2
xỏ ty tử t 0
2
Da
durch reelle Werte von xo, X1, X2, X3 erfüllt werden können.
dies bei eigentlichen Elementen niemals stattfindet, müssen in diesen
beiden Fällen uneigentliche Elemente existieren.
Aber der Fall der Gleichung:
-
daß auch
→XoYo + X₁₁ — X 2 Y 2 + X 3 Y 3
i
ist auszuschließen, da in ihm der Satz nicht mehr allgemein gilt, daß
AC+CB÷AB ist, wenn A, B, C nicht in einer Geraden liegen
(s. 88).
82. Definition: Ein derartiges Entsprechen zwischen den eigent-
lichen Punkten des Raumes, daß jedem Punkt genau ein Punkt und
jeder Strecke eine gleiche Strecke entspricht, heißt eine Kongruenz.
83. Satz: Es gibt Kongruenzen.
=
= 0
Beweis: Man setze entsprechend dem eigentlichen Punkte A
einen beliebigen eigentlichen Punkt A', dann einem eigentlichen Punkte
B einen Punkt B', so daß A'B' AB, also B' eigentlich ist; dann
jedem eigentlichen Punkte C₁, ... von [AB] einen Punkt C', ..
von [A'B'], so daß AC₁ = AC, usw., was nach 33 möglich ist;
alsdann einem eigentlichen Punkte C, für den [CC₁][AB] ist,
einen Punkt C', für den [C'C₁′] [A′B′] und C'С₁ = CC₁ ist; als-
dann jedem eigentlichen Punkte D₁, ... von {ABC} einen Punkt
D von {A'B'C'), so daß AD₁ = A'D', usw., was nach 34 mög-
lich ist; alsdann jedem eigentlichen Punkte D, ... für den [DD₁] ±
{ABC) einen Punkt D', für den [D'D₁'] {A'B'C'} und D'D
= DD₁ ist, und so, daß z. B. ABCDE~ A'B'C' D'E' ist, was nach
35 möglich ist. Dann entsprechen allen eigentlichen Punkten wieder
eigentliche Punkte und alle entsprechenden Strecken sind gleich.
-
84. Satz: In jeder Kongruenz entsprechen drei eigentlichen
Punkten einer Geraden drei eigentliche Punkte einer Geraden.
Beweis: Sind A, B, C drei Punkte in einer Geraden und A',
B', C' die ihnen entsprechenden, also AB = A'B', AC = A'C',
BC= B'C', so folgt aus (z. B.)
AB+ BC AC,
A'B' + B'C' A'C'
ist; lägen A', B', C' nicht in einer Geraden, so wäre stets: